مقالات

14.7: مراجعة المشاكل - الرياضيات


1. اسمح (D = start {pmatrix} lambda_ {1} & 0 0 & lambda_ {2} end {pmatrix} )

أ) اكتب (D ) بدلالة المتجهات (e_ {1} ) و (e_ {2} ) ، وتحويلها.

ب) لنفترض أن (P = begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix} ) قابل للعكس. أظهر أن (D ) مشابه لـ

[M = frac {1} {ad - bc} begin {pmatrix} lambda_ {1} ad - lambda_ {2} bc & - ( lambda_ {1} - lambda_ {2}) ab ( lambda_ {1} - lambda_ {2}) cd & - lambda {1} bc + lambda_ {2} ad end {pmatrix} ]

ج) افترض أن المتجهات ((أ ، ب) ) و ((ج ، د) ) متعامدة. ماذا يمكنك أن تقول عن (م ) في هذه الحالة؟ ( ( textit {تلميح:} ) فكر فيما يساوي (M ^ {T} ).)

2. افترض أن (S = {v_ {1}، ...، v_ {n}} ) أساس ( textit {orthogonal} ) (غير متعامد) لـ ( mathbb {R} ^ { ن}). ثم يمكننا كتابة أي متجه (v ) كـ (v = sum_ {i} c ^ {i} v_ {i} ) لبعض الثوابت (c ^ {i} ). ابحث عن صيغة للثوابت (c ^ {i} ) بدلالة (v ) والمتجهات في (S ).

3. لنكن (u، v ) نواقل مستقلة خطيًا في ( mathbb {R} ^ {3} ) و (P = span {u، v} ) يكون المستوى الممتد بواسطة (u ) و (ت ).

(أ) هل المتجه (v ^ { perp}: = v - frac {u cdot v} {u cdot u} u ) في المستوى (P )؟

(ب) ما هي الزاوية (جيب التمام) بين (v ^ { perp} ) و (u ^ { perp} )؟

(ج) كيف يمكنك إيجاد متجه ثالث عمودي على (u ) و (v ^ { perp} )؟

(د) أنشئ أساسًا متعامدًا لـ ( mathbb {R} ^ {3} ) من (u ) و (v ).

(هـ) اختبر الصيغة المجردة الخاصة بك بدءًا من (u = (1،2،0) ) و (v = (0،1،1) ).

4. ابحث عن أساس متعامد لـ ( mathbb {R} ^ {4} ) والذي يتضمن ((1،1،1،1) ) باستخدام الإجراء التالي:

(أ) اختر متجهًا عموديًا على المتجه

[v_ {1} = start {pmatrix} 1 1 1 1 end {pmatrix} ]

من مجموعة حل معادلة المصفوفة

[v_ {1} ^ {T} x = 0. ]

اختر المتجه (v_ {2} ) الذي تم الحصول عليه من إجراء إزالة Gaussian القياسي وهو معامل (x_ {2} ).

(ب) اختر متجهًا عموديًا على كل من (v_ {1} ) و (v_ {2} ) من مجموعة حلول معادلة المصفوفة

[ start {pmatrix} v_ {1} ^ {T} v_ {2} ^ {T} end {pmatrix} x = 0. ]

اختر المتجه (v_ {3} ) الذي تم الحصول عليه من إجراء إزالة Gaussian القياسي مع (x_ {3} ) كمعامل.

(ج) اختر متجهًا عموديًا على (v_ {1} و v_ {2} ) و (v_ {3} ) من مجموعة حلول معادلة المصفوفة

[ begin {pmatrix} v_ {1} ^ {T} v_ {2} ^ {T} v_ {3} ^ {T} end {pmatrix} x = 0.

اختر المتجه (v_ {4} ) الذي تم الحصول عليه من إجراء إزالة Gaussian القياسي مع (x_ {3} ) كمعامل.

(د) تطبيع النواقل الأربعة التي تم الحصول عليها أعلاه.

5. استخدم المنتج الداخلي

[f cdot g: = int_ {0} ^ {1} f (x) g (x) dx ]

على مساحة المتجه (V = span {1، x، x ^ {2}، x ^ {3}} ) لتنفيذ إجراء Gram-Schmidt على مجموعة المتجهات ({1، x، x ^ { 2} ، × ^ {3}} )

6. استخدم المنتج الداخلي على مساحة المتجه (V = span {sin (x)، sin (2x)، sin (3x)} ) لتنفيذ إجراء Gram-Schmidt على مجموعة المتجهات ({sin ( x) ، الخطيئة (2x) ، الخطيئة (3x)} ).

ما الذي تشك فيه في مساحة المتجه (span {sin (nx) | n in N} )؟

ما الذي تشك فيه في فضاء المتجه (span {sin (ax) | a in R} )؟

7.

  1. أظهر أنه إذا كانت (Q ) مصفوفة متعامدة (n times n ) ثم $$ u cdot v = (Qu) cdot (Qv) ، $$ لأي (u ، v in mathbb {R} ^ {n} ). أي يحافظ (س ) على المنتج الداخلي.
  2. هل (س ) يحافظ على المنتج الخارجي؟
  3. إذا كانت ({u_ {1}، ...، u_ {n}} ) مجموعة متعامدة و ({ lambda_ {1}، ···، lambda_ {n}} ) عبارة عن مجموعة من الأرقام إذن ما هي القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة (M = sum ^ {n} _ {i = 1} lambda_ {i} u_ {i} u ^ {T} _ {i} )؟
  4. كيف يغير (س ) هذه المصفوفة؟ كيف تتغير المتجهات الذاتية والقيم الذاتية؟

8. اكتب بعناية إجراء جرام-شميدت لمجموعة المتجهات $$ start {Bmatrix} start {pmatrix} 1 1 1 end {pmatrix} ، begin {pmatrix} 1 - 1 1 end {pmatrix} ، begin {pmatrix} 1 1 - 1 end {pmatrix} end {Bmatrix}. $$ هل أنت حر في إعادة قياس المتجه الثاني الذي تم الحصول عليه في الإجراء إلى متجه بمكونات عدد صحيح؟

9.

أ) افترض أن (u ) و (v ) مستقلان خطيًا. أظهر أن (u ) و (v ^ { perp} ) مستقلان خطيًا أيضًا. اشرح سبب كون ({u، v ^ { perp}} ) أساسًا لـ (span {u، v} ).

ب) كرر المشكلة السابقة ، ولكن مع ثلاثة نواقل مستقلة (u ، v ، w ).

10. ابحث عن تحليل (QR ) إلى عوامل $$ M = start {pmatrix} 1 & 0 & 2 - 1 & 2 & 0 - 1 & -2 & 2 end {pmatrix}. ]

11. بالنظر إلى أي ثلاثة نواقل (u، v، w ) ، متى تختفي (v ^ { perp} ) أو (w ^ { perp} ) من إجراء جرام شميدت؟

12. بالنسبة إلى (U ) مساحة فرعية لـ (W ) ، استخدم نظرية الفضاء الجزئي للتحقق من أن (U ^ { perp} ) هو فضاء فرعي لـ (W ).

13. دع (S_ {n} ) و (A_ {n} ) يعرّفان مسافة (n times n ) المصفوفات المتماثلة وغير المتماثلة على التوالي. هذه مساحات فرعية لمساحة المتجه (M ^ {n} _ {n} ) لجميع (n times n ) المصفوفات. ما هو (dim M_ {n} ^ {n} ) و (dim S_ {n} ) و (dim A_ {n} )؟ أظهر ذلك (M ^ {n} _ {n} = S_ {n} + A_ {n} ). هل (A ^ { perp} _ {n} = S_ {n} )؟ هل (M ^ {n} _ {n} = S_ {n} oplus A_ {n} )؟

14. مساحة المتجه (V = span {sin (t)، sin (2t)، sin (3t)} ) لها منتج داخلي: $$ f cdot g: = int_ {0} ^ {2 pi} f (t) g (t) dt. $$ اعثر على المجاملة المتعامدة لـ (U = span {sin (t) + sin (2t)} ) في (V ). Express (sin (t) - sin (2t) ) كمجموع المتجهات من (U ) و (U ^ {T} ).


مشاكل جائزة الألفية

ال مشاكل جائزة الألفية كانت سبع مسائل لم يتم حلها في الرياضيات تم ذكرها من قبل معهد كلاي للرياضيات في 24 مايو 2000. [1] المشاكل هي تخمين بيرش وسوينرتون-داير ، تخمين هودج ، وجود نافيير-ستوكس والنعومة ، P مقابل مشكلة NP ، بوانكاريه التخمين وفرضية ريمان ووجود يانج ميلز وفجوة الكتلة. الحل الصحيح لأي مشكلة ينتج عنه جائزة بقيمة مليون دولار أمريكي يمنحها المعهد للمكتشف (المكتشفين).

حتى الآن ، كانت مشكلة جائزة الألفية الوحيدة التي تم حلها هي تخمين بوانكاريه ، الذي تم حله في عام 2003 من قبل عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان. رفض أموال الجائزة.


مراجع في حل مشكلات الرياضيات

اتجاه: يهدف هذا الاختبار إلى اختبار قدرتك على التفكير في حلول للمشكلات الكمية. اقرأ كل مشكلة بعناية وحدد الإجابة الصحيحة من الاختيارات.

91 تعليقًا:

أنا حقًا مزعج في الرياضيات .. هل يمكنك أن تعلمني كيفية حل المشكلات -_-

من فضلك علمني كيفية حل * عيون الجرو *

لول. لتصبح بارعًا في الرياضيات .. يجب أن يكون لديك شغف كبير في مادة الرياضيات. يجب أن تكون معجبًا بالأرقام كم عدد السنوات.

حصلت على 75٪ فقط ، هل يمكن لأحد أن يساعدني في كيفية الحصول على الإجابة الصحيحة بالأرقام 9،10،14،17،18. انا بحاجة الى مساعدة من فضلك. لدينا امتحان دخول الكلية يوم السبت. tnx

كيف تحصل على الجواب .. الرجاء إرسال إجابة خطوة بخطوة ..

ها؟ كيف ذلك؟ كيف حصلت على الجواب لا. 18؟

نعم ، أخبرنا كيف حللت # 18 ؟؟ كذاب!

17. كيس من علف الخنازير سيطعم 18 خنزير في 54 يوما. كم من الوقت سوف تطعم 12 خنزير؟
18/54 = 12 / n ثم الضرب العرضي ستحصل على 18n = 648 ثم اضرب كل جانب في 1/18 حتى تحصل على هذا n = 648/18 ثم الإجابة هي 36.

لماذا 36؟ هل 18pig تستهلك أكثر من 12 خنزير؟ كيف ستسير الامور؟

حصلت على 10 ، 7 خطأ ثم 3 لم أجب بعد.

إجابتي في الرقم 17 هي 81 يومًا.

هاهاهاها أعتقد أن من أجرى هذا الاختبار هو shawol و exostan / kpopper هنا أيضًا / نفس القاعدة الجماهيرية.

نعم انا!! ايم شاون ، exostan ، بانا والجيش.

نعم ، هذا صحيح ، أسماء kpop جعلت حلها رائعًا ومثيرًا. يجعل عقلي يعمل.

هههههههههه كنت سعيدا جدا ومحرجا في نفس الوقت ماذا لو كان المراقب الخاص بي هو EXO؟ ليلز بابابابا

هاها 4/20 أنا أكره الرياضيات
عقلي سوف ينفجر!

أنا أكره الرياضيات! لكن اريد ان اتعلم

رائع. صنع مروحة kpop هذا! رائع. :د

ما هو خطأي ، ما هو الرقم.

هل يمكنك عرض الحل لكل مشكلة. بالنسبة لنا لفهم المشكلة بعمق؟ أو كيف تصبح مثل تلك الثرثرة.

أعتقد أن الأسئلة رقم 10 و 14 و 18 ليس لها إجابات صحيحة.

أردت فقط أن أنشر لماذا أعتقد ذلك.
10. معادلة المنطقة = pi * r ^ 2 أي 3.1416 * 135 (تربيع) = 57255.66 كيلومتر مربع

14. المعلومات المعطاة هي٪ بدون تحديد النسبة المئوية.

18. 28000 - (8٪ من 28000) = 25.760
ثم 25.760 - (5٪ من 25760) = 24472 هي تكلفة المجموعة.

الطريقة الأسرع هي 100٪ -8٪ = 92٪ لذلك 28000 * .92 = 25760 * .95 = 24472 (التكلفة)

لذلك إذا حصلت على 85٪ ، فقد يكون هذا هو السبب :)

أنا فقط حصلت على 16 من أصل 20! أشعر بخيبة أمل حقًا. فشلت في الإجابة على 7،8،10 & amp 18 بشكل صحيح.
هل يمكنك أن تريني حلهم من فضلك؟

نفس الحل في 10 و 14 و 18.

سيدي هل يمكنني أن أسأل الحل الخاص بك في # 17؟
أنا مرتبك نوعا ما. لماذا يستمر تغذية الخنازير 54 يومًا مع 18 خنزيرًا بدلاً من الأقل؟ بينما يمتلك كلاهما نفس أكياس علف الخنازير

أنت & # 39ll استخدام النسبة والنسبة هناك بشكل صحيح. it & # 39s مثل هذا: 18/54 = 12 /؟ لذلك اضرب 12 و 54 ثم اقسمه على 18 ، وأنا أعلم أنه من الصعب نوعًا ما أن أصدق أن العلف استمر أقل من 18 خنزيرًا ولكن هذا هو الحال .. :))

أعتقد أنك فهمت الأمر بشكل خاطئ ، ulquiorra.

من غير المنطقي أن يستمر العرض لفترة أقصر عندما ينخفض ​​الطلب.

لنفترض أن كيس علف الخنزير يزن 1 كجم (لأسباب بسيطة أكثر من المنطق)
لمعرفة المعدل الذي يأكله الخنزير كل يوم.
1 كجم (علف) / 54 (يوم) = 0.0185 كجم / يوم
0.0185 كجم / يوم لـ 18 خنزير.
يأكل كل خنزير 0.0010288 كجم / يوم

لذا ، فإن 12 خنزيرًا تستهلك 0.012345679 كجم / يوم

يجب أن يستمر كيس علف الخنازير 1 ​​كجم لمدة 81 يومًا.

نعم. # 17 هو حقًا غير منطقي. كيف يمكن لمجموعة أقل استهلاك الطعام بشكل أسرع؟ فعلت نفس الحل كما هو الحال مع مارك.


الرياضيات التقنية ، الطبعة السادسة بقلم بول أ.كالتر ، مايكل أ.كالتر دكتوراه.

يحصل الرياضيات التقنية ، الطبعة السادسة الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.

7.7 الفصل 7 مراجعة المشاكل

اكتب الجيب وجيب التمام والظل لكل زاوية. احتفظ بأربعة منازل عشرية.

أوجد الزاوية θ بالدرجات العشرية ، إذا

قيم كل تعبير. أعط إجابتك بالدرجات.

أ = 746 و أ = 37.2 درجة ب = 52.8 درجة ب = 983 ج = 1230

ب = 3.72 و أ = 28.5 درجة ب = 61.5 درجة أ = 2.02 ج = 4.23

ج = 45.9 و أ = 61.4 درجة ب = 28.6 درجة ب = 22.0 أ = 40.3

أوجد المركبين الأفقي والرأسي لمتجه مقدار 885 ويصنع زاوية مع الأفقي. 356810

أوجد مقدار المحصلة لمتجهين عموديين لهما مقدار 54.8 و 39.4 ، وأوجد الزاوية التي يصنعها الناتج مع المتجه 54.8. 67.5 35.7 درجة

يحتوي المتجه على مكونات أفقية وعمودية مقدارها 385 و 275. أوجد مقدار واتجاه هذا المتجه. 473 35.5 درجة

يلقي عمود رأسي على أرض أفقية بظلاله بطول 13.5 مترًا عندما تكون زاوية ارتفاع الشمس 15.4 درجة. أوجد ارتفاع العمود. 3.72 م

من نقطة 125 قدمًا أمام الكنيسة ، تكون زاويتا ارتفاع قمة وقاعدة برجها 22.5 درجة و 19.6 درجة على التوالي. أوجد ارتفاع برج الكنيسة. 7.27 قدم

مقاومة الدائرة 125 ، ومقاومة 256 Ω ، ومفاعلة حثي 312 Ω ، وزاوية طور موجبة. أوجد المفاعلة السعوية والمرحلة.

يحصل الرياضيات التقنية ، الطبعة السادسة الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.


GO الرياضيات!

هوتون ميفلين & # 8217 ثانية GO الرياضيات! هو برنامج رياضيات شامل K-8 تم تطويره لدعم معايير الدولة الأساسية المشتركة للرياضيات ونقاط الاتصال الخاصة بمنهج NCTM. يركز البرنامج على الأسئلة الأساسية والأفكار الكبيرة مع عمق الفهم كهدف.

مثل الرياضيات اليومية ، Go Math! يوفر طرقًا متعددة للطلاب لحل المشكلات. وهي معروفة أيضًا بتعليماتها الفردية ونهجها المحبب.

المنتقدون يطلقون عليه اسم No-Go Math! تختلف الأسباب من نقص العمق إلى عدم وجود خطوط رقمية إلى مملة بسبب تكرارها. قم بتقييمه مع طلابك وأسلوب التدريس الخاص بك في الاعتبار لتحديد ما إذا كان & # 8217s مناسبًا لاحتياجاتك.


الرياضيات

الرجاء الضغط على الرابط للوصول إلى المعلومات. ستتم إضافة معلومات إضافية إلى Math Google Classroom.

المؤتمر السنوي السادس & quotRaise the Bar & quot

احفظ التاريخ:

يناير 2022

مدرسة واشنطن الثانوية

مسابقة صن شاين للرياضيات لعام 2021

من 5 إلى 14 أبريل 2021

الجبر 1 ، الجبر 2 ، الهندسة

اضغط على الرابط أعلاه لحساب سنوي

متوسط ​​لمادة مع نهاية اختبار الدورة.


الرياضيات في استراليا

أكمل المركز الدولي للتميز في تعليم الرياضيات (ICE-EM) مؤخرًا مجموعة كاملة من كتب الرياضيات المدرسية والموارد التعليمية ذات الصلة (أوراق الواجبات المنزلية ، والأقراص المدمجة ، وما إلى ذلك) ، بعنوان & # 8220ICE-EM Mathematics & # 8220 ، والتي يغطي الفترة الانتقالية بين التعليم الابتدائي والثانوي في أستراليا (أو بتعبير أدق ، من المرحلة الابتدائية العليا إلى الصف العاشر). تم تصميم هذه الحزمة من قبل علماء رياضيات محترفين (بما في ذلك مرشدتي الجامعية السابق ، غارث جودري) بالتعاون مع مدرسين ذوي خبرة في الرياضيات الابتدائية والثانوية ، ووفقًا لمتطلبات مناهج الرياضيات في الولايات والأقاليم الأسترالية. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول هذه الحزمة ، بما في ذلك نماذج الفصول وأوراق الواجبات المنزلية ، هنا.

في الآونة الأخيرة ، تلقيت نسخة من الكتب المدرسية (هناك ستة كتب من مجلدين في المجموع ، واحد لكل سنة دراسية) لمراجعتها من أجل ICE-EM. تمتد الحزمة بأكملها على حوالي 5000 صفحة في 12 مجلدًا ، وتركز مراجعتي على ثلاثة مجلدات تمثيلية ، الانتقال 1 أ (الذي يغطي النصف الأول من السنة 5) ، والثانوي 2 ب (الذي يغطي النصف الثاني من السنة 8) ، والثانوي 4 ب (الذي يغطي النصف الأخير من السنة العاشرة).

تنصل: بالطبع ، أنا أراجع هذه الكتب ليس كمعلم في المدارس الابتدائية أو الثانوية ، ولكن بدلاً من ذلك بصفتي عالم رياضيات أكاديميًا محترفًا ومعلمًا للرياضيات في المرحلة الثالثة. ومع ذلك ، في تجربتي مع الطلاب في المستوى العالي ، رأيت بالتأكيد كيف يمكن لأي ثغرات أو أوجه قصور في تعليم الرياضيات الابتدائي أو الثانوي أن تظهر لتسبب صعوبات مفاهيمية كبيرة على المستوى العالي ، ومن هذا المنظور أقترب من مراجعتي لهذه النصوص.

يغطي هذا النص ، الذي يستهدف المستوى الخامس (أي للأعمار من 10 إلى 11 عامًا) ، أساسيات الحساب والهندسة: يبدأ بمراجعة تدوين رقم المكان للأعداد الطبيعية ، ويمر من خلال العمليات الحسابية الأساسية الأربع (الجمع والطرح والضرب والقسمة ) للأعداد الطبيعية (مع التركيز على الأرقام المكونة من رقمين إلى أربعة أرقام) ، ثم تطبيق هذه العمليات لحساب الأطوال والمساحات والأحجام. أخيرًا ، يقدم النص مفاهيم الكسور والكسور العشرية. (يتابع المجلد 1B هذه الموضوعات من خلال تقديم مفاهيم هندسية أخرى ، مثل الزوايا والإحداثيات ، وكذلك كيفية إجراء العمليات الحسابية على الكسور والأعداد العشرية.)

باختصار ، يغطي هذا النص موضوعات الخبز والزبدة في رياضيات المدارس الابتدائية ، وليس الجزء الأكثر إثارة من الموضوع ، باعتراف الجميع ، ولكنه عنصر أساسي مهم للغاية ، مع ذلك ، سواء للتطبيقات الواقعية (سيستخدم الطالب النموذجي هنا الحساب الأساسي والهندسة في حياة البالغين أكثر بكثير من الجبر أو حساب المثلثات أو حساب التفاضل والتكامل) ، ولكن أيضًا لبناء حدس قوي حول الأرقام والقياس والهندسة وهو أمر ضروري للغاية لمنع تعليم الرياضيات في المدرسة الثانوية من التدهور إلى قائمة محيرة من القواعد والصيغ والخوارزميات الغامضة. لذلك من المهم إلى حد ما تدريس هذه المرحلة من الموضوع بشكل صحيح وشامل.

كتاب 1A ، في رأيي ، يحقق هذا الهدف بشكل ممتاز. يتطلب الأمر منهجًا جادًا وعمليًا وغير منطقي لهذه المفاهيم الأساسية ، فهناك المزيد من الموضوعات الجانبية الخفيفة ، مثل أنظمة الأرقام بخلاف الهندوسية العربية (الرومانية ، المصرية ، المايا ، الثنائية) ، أو الألعاب الرياضية (مثل الكلاسيكية & # 8220fizz buzz & # 8220 ، والتي لعبت بنفسي عندما كنت طفلاً) ، ولكن (كما يتوقع المرء من كتاب مدرسي أساسي في موضوع أساسي) ، فإنه لا يسمح لهذه الانحرافات (أو أي منهجية تدريس أخرى مبهجة للغاية) بتشتيت الانتباه عن المهمة الأساسية للنص ، وهي نقل مفاهيم العدد والقياس بطريقة تجعل الطلاب لديهم حدسيًا وفهمًا لهذه المفاهيم ، بالإضافة إلى مجموعة متنوعة من الأدوات التي يمكن من خلالها معالجة هذه المفاهيم كميًا.

أحد الأشياء التي أحببتها بشكل خاص في النص هو أنه أكد باستمرار على تعدد المقاربات لأي مشكلة معينة. على سبيل المثال ، يُنظر إلى مسألة الطرح 34-16 على أنها تحذف 16 من 34 ، أو من إيجاد الرقم الذي ، عند إضافته إلى 16 ، ينتج عنه 34 ، والعديد من الطرق المختلفة لحساب مثل هذا الطرح ، والتي تتراوح من المعيار طريقة اقتراض الأرقام لطرق مخصصة مثل طرح 10 من 34 أولاً ، ثم طرح 6 أخرى ، أو طرح 20 ثم إضافة 4 ، وما إلى ذلك ، أو تداول إحدى العشرات الثلاث في 34 إلى عشرة ، إلخ. يتم التعبير عن تدوين المكان باستخدام التدوين العشري القياسي ، ولكن أيضًا باستخدام المعداد أو أنظمة الأرقام التاريخية ، أو هندسيًا باستخدام خط الأعداد ، أو باستخدام كتل الأساس 10 فعليًا (والتي أتذكرها باعتزاز من طفولتي على أنها تعبر عن النظام العشري بشكل واضح بشكل خاص طريقة). في المستوى الجامعي ، رأيت ميلًا مؤسفًا بين بعض الطلاب لاقتصاد الموارد العقلية من خلال تذكر خوارزمية أو طريقة واحدة فقط لكل نوع مشكلة وإغلاق عقل واحد & # 8217s لجميع الأساليب الأخرى ، مما يؤدي في النهاية إلى فهم هش للغاية الرياضيات من المهم بالتالي تعزيز الرسالة التي مفادها أن هناك طرقًا متعددة لأي مشكلة معينة (والتي يحتاجها المرء في الواقع فكر في من أجل تحديد الإستراتيجية التي من المحتمل أن تكون متفوقة في أي موقف معين) في أقرب وقت ممكن.

وبروح مماثلة ، فإن المشاكل في النص لها نكهة غير متجانسة بشكل واضح ، حيث تمزج بين الحساب الرمزي ، ومشاكل الكلمات ، والتجارب والأنشطة الجماعية ، والأسئلة المفاهيمية (على سبيل المثال ، ما هو الفرق بين العامل والمضاعف؟) معًا. هذا يحمي من قيام الطالب بتطبيق أسلوب محفوظ لمهاجمة هذه المشكلات بناءً على الكلمات أو الأنماط الأساسية التي تم تمييزها في نص المشكلة (عادة مؤسفة أخرى لبعض الطلاب في المستوى العالي). في الواقع ، ينصب التركيز في النص كله على الإستراتيجية والتصور بدلاً من الحفظ ، تتكشف المادة بشكل طبيعي ، بدلاً من تقطيعها إلى سلسلة من & # 8220 التعريفات & # 8221 ، & # 8220 أمثلة عملية & # 8221 ، و & # 8220 الحقائق الرئيسية & # 8221 ( والتي ، للأسف ، غالبًا ما تعطي انطباعًا غير مقصود بأن جميع المواد الموجودة بين هذه الصناديق يمكن أن ينسىها الطالب بأمان). [بالطبع ، لا تزال هناك تعريفات وأمثلة وصيغ مهمة تظهر في النص ، بالإضافة إلى ملخصات للمناقشات الموسعة ، لكن لم يتم إبرازها إلى الحد الذي يعاني فيه العرض الآخر للمادة نتيجة لذلك.]

الأقسام الخاصة بالقياس (للأطوال ، والمساحات ، والأحجام ، وما إلى ذلك) متوازنة جيدًا بين كل من القياس الكمي (الدقيق) ، والقياس النوعي (التقريبي) بالطبع ، وكلا النوعين من القياس مهمان للغاية في تطبيقات الحياة الواقعية ، وهناك تفاعل صحي بين الأساليب البصرية والمادية والعددية والصيغية للقياس في جميع أنحاء النص. يتم تغطية النظام المتري لقياس الطول & # 8211 ، والذي سيكون بالطبع موجودًا في كل مكان في حياة البالغين 8217 & # 8211 بشكل شامل وواضح.

يتجنب النص تمامًا أي استخدام للآلات الحاسبة في هذه المرحلة الابتدائية ، وهو ما أعتقد أنه حكيم تمامًا. في هذه المرحلة ، بدأ الطلاب للتو في تكوين قاعدة عريضة من الحدس العددي من خلال الحسابات المباشرة ، ومن شأن تقصير تطوير هذا الحدس من خلال تشجيع استخدام الآلات الحاسبة أن يكون ضارًا للغاية. بالطبع ، في المستوى الثانوي الذي تحول فيه الموضوع إلى موضوعات غير رقمية مثل الجبر ، يكون استخدام الآلات الحاسبة للتعامل مع الحسابات الرقمية الروتينية أكثر منطقية ، على الرغم من أن النص يشجع فقط على استخدام الآلات الحاسبة عندما يكون ذلك ضروريًا بشكل خاص (على سبيل المثال لحساب الدوال المثلثية أو الأسية ، أو لمعالجة الكسور العشرية).

كما هو متوقع بالطبع من نص رياضيات مكتوب جزئيًا بواسطة علماء رياضيات محترفين ، يتم تقديم كل مفهوم رياضي بطريقة صحيحة وواضحة. على سبيل المثال ، عند تغطية الكسور ، يتضح (ويتضح من خلال الجهاز المرئي لطي شريط من الورق) أن الكسور المكافئة مثل 1/2 و 3/6 تساوي بالفعل بعضها البعض في القيمة ، على الرغم من اختلافهما بشكل ملحوظ ، لقد رأيت مدرسي الرياضيات في المدرسة الثانوية في الولايات المتحدة مرتبكين تمامًا بشأن هذه النقطة بالذات !.

هذا النص ، الذي يستهدف المستوى الثامن (للأعمار من 13 إلى 14 عامًا) ، أصبح الآن جيدًا في مناهج الرياضيات الثانوية الآن حيث تمت تغطية جميع جوانب الحساب الصحيح والحساب المنطقي ، بالإضافة إلى الهندسة الأساسية في المجلدات السابقة ، ويغطي النص الآن النسب والجبر متوسط ​​المستوى (على سبيل المثال التحليل التربيعي) ، يقدم للطلاب الرسوم البيانية والجداول والمخططات والإحصاءات والاحتمالات ، ويستمر في تغطية الهندسة بموضوعات مثل التطابق والبراهين في المثلث الإقليدي وهندسة الدائرة والمساحات والأحجام من الأشكال مثل متوازي الأضلاع والأسطوانات والمثلثات.

يشبه نهج النص نهج نص المستوى الأولي الذي تمت مراجعته أعلاه ، على الرغم من وجود العديد من الصيغ بالضرورة الآن ، والتي يجب حفظ بعضها للأسف ، حيث يصعب تحفيزها بوسائل أخرى في هذا المستوى من الرياضيات. فهم. يحدد النص الصيغ من هذا النوع ، ولكن يتم ذلك بشكل مقتصد ، ويظل الكثير من النقاش مفاهيميًا وليس توجيهيًا. (على سبيل المثال ، الصيغة الخاصة بمنطقة الدائرة & # 8211 والتي تعد إحدى الصيغ القليلة التي يوصى بحفظها & # 8211 مشتقة استدلالياً من الصيغة الخاصة بمحيط تلك الدائرة عن طريق تقطيع وإعادة ترتيب الدائرة إلى المستطيل القريب ، وهو حجة مقنعة بصريًا يمكن في النهاية جعلها صارمة تمامًا بمجرد أن يعرف المرء المفهوم الأكثر تقدمًا للحد.)

كما كان من قبل ، ينصب التركيز على وجهات نظر وطرق متعددة للتعامل مع أي مفهوم معين. على سبيل المثال ، يتم توضيح مفهوم النسبة من خلال مجموعة متنوعة من الوسائل باستخدام النسب المئوية وأسعار الوحدة وأسعار الصرف النقدي والسرعات والمعدلات الأخرى والمقاييس ، وكذلك من خلال مجموعة متنوعة من المشاكل (على سبيل المثال لتقدير الارتفاع لمبنى في صورة ، بناءً على النسب بين ذلك المبنى والأشخاص الموجودين في الصورة).

قسم الرسوم البيانية والإحصاءات شامل تمامًا ، مع التركيز على تفسير البيانات باستخدام جميع أنواع التنسيقات الرقمية والجداول والرسوم البيانية ، وشرح المفاهيم الأساسية (مثل تلك الخاصة بـ الناشز في مجموعة بيانات ، يتضح من أوقات الانتهاء للعبة سودوكو) واضح.

تتم مشاكل نوع الإثبات في أقسام الهندسة الإقليدية والمثلث بشكل تقليدي تمامًا ، مع خط منظم من الاستنتاجات من الفرضيات إلى الخاتمة ، مبررة في كل خطوة. هذه بالطبع هي الطريقة الكلاسيكية التي يتعرض بها الطلاب لأول مرة للتفكير الرياضي الصارم & # 8211 لقد تعلمت بنفسي بهذه الطريقة & # 8211 ولكن في بعض الأحيان لا تزال الطرق القديمة هي الأفضل. (حسب المستوى العالي ، سيتعين على المرء أن يتعامل مع حجج أكثر تعقيدًا وذات شكل حر ، والتي غالبًا ما يتم صياغتها بشكل أفضل باستخدام مزيج من المعادلات الرياضية وجمل اللغة الطبيعية ، بدلاً من الهيكل الكلاسيكي الأنيق لإثبات الهندسة الإقليدية ولكن العام منهج الرياضيات 8 بالكاد هو المكان المناسب للتعامل مع هذه الأمثلة الأكثر تعقيدًا للتفكير الرياضي. عن طريق المقارنة ، تختفي البراهين من أي نوع & # 8211 إقليدي أو غير ذلك & # 8211 بسرعة من مناهج المدارس الثانوية في الولايات المتحدة ، أو محجوزة للدورات المتقدمة فقط.)

الاحتمالية هي موضوع معروف ببراعته ، مليء بالمزالق من التفكير القذر أو الصياغة الفضفاضة ، لكن المؤلفين حرصوا هنا بشكل خاص على جعل المادة هنا صحيحة وواضحة وواضحة ، لا سيما بالاعتماد على الوسائل البصرية مثل المصفوفات والأشجار لتسهيل البديهة. (في المستوى العالي ، قد يرغب المرء في تحدي الطلاب بمفارقات الاحتمالية (العديدة) وغيرها من التفاصيل الدقيقة من أجل اختبار فهمهم للموضوع ، ولكن يجب على المرء بالطبع تجنب ذلك لمزيد من الطلاب المبتدئين الذين يواجهون فقط موضوع لأول مرة.)

ينتهي النص ببدايات الهندسة التحليلية & # 8211 على وجه الخصوص ، مما يدل على أنه يمكن للمرء الجمع بين المعالجة الجبرية للمعادلات مثل المعالجة الهندسية للكائنات مثل الخطوط والمثلثات والمستطيلات للحصول على فهم أعمق لكلا الموضوعين. هذا الموضوع هو بالطبع بوابة حساب التفاضل والتكامل وجزء كبير من الرياضيات العليا ، ويتم التأكيد بشكل مناسب على العلاقة الحاسمة بين الجبر والهندسة المزورة هنا (وتستمر طوال الطريق حتى أعلى مستويات الرياضيات).

هذا هو المجلد الأخير في السلسلة ، الذي يغطي النصف الثاني من السنة العاشرة (من سن 15 إلى 16 عامًا) ، ويتعامل مع موضوعات التفاضل والتكامل القياسية ، مثل التوافقيات ، وعلم المثلثات المتقدم ، واللوغاريتمات ، ومتعددة الحدود ، والهندسة التحليلية ، والنظرية العامة لـ الدوال والمتغيرات ، بالإضافة إلى عدد من الموضوعات الأخرى ، مثل الانحراف المعياري في الإحصاء وهندسة الدائرة المتقدمة ، بالإضافة إلى بعض الموضوعات الأخرى في الاحتمالات (مثل التوقع المشروط والاستقلالية).

علم المثلثات هو موضوع كثيف المعادلات بشكل خاص ، لكن المؤلفين هنا تمكنوا من تقييد الانتباه إلى أهم الصيغ (التي يمكن اشتقاق الصيغ الأخرى منها بسهولة) ، بالإضافة إلى تقديم اشتقاقات مختصرة ولكنها دقيقة لكل منها. بعض التفاصيل الدقيقة المهمة (على سبيل المثال ، حقيقة أن قاعدة الجيب تعطي أحيانًا إجابة غامضة عند إعادة بناء مثلث من جانبين وزاوية جانبية) يتم الإشارة إليها بعناية أيضًا.

غالبًا ما يكون موضوع التوافقية هو المكان الأول الذي يتعرض فيه الطلاب للتفكير الرياضي المفاهيمي الفعلي المفاهيم المشاركة في عد الأنواع المختلفة من التوليفات والتبديلات ليست صعبة ، ولكن تطبيقها بشكل صحيح يتطلب تفكيرًا واضحًا ودقيقًا ، وغالبًا ما يحتاج المرء إلى المجادلة من المبادئ الأولية بدلاً من الاعتماد على الصيغ المحفوظة. في هذا الموضوع ، يكون دور مشاكل الواجبات المنزلية مهمًا بشكل خاص ، والمشكلات هنا مصاغة بعناية وتتطلب تفكيرًا حقيقيًا من جانب الطالب. يتشابك هذا القسم أيضًا جيدًا مع القسم التالي حول الاحتمالية ، حيث تكون المشكلات صعبة بالمثل.

يُنظر إلى موضوع كثيرات الحدود بشيء من العمق ، سواء في حد ذاته أو كحافز رئيسي لنظرية الوظائف الأكثر عمومية ، والتي هي الموضوع الأخير للكتاب وهي بالطبع نقطة الانطلاق لحساب التفاضل والتكامل. لقد أحببت بشكل خاص كيف تم شرح تقسيم كثيرات الحدود ، من خلال التأكيد على التشابه مع التقسيم الطويل للأعداد الصحيحة (مع تجنب الشكلية المجردة للقسمة التركيبية ، والتي يمكن أن تكون غامضة بعض الشيء إذا تم تقديمها بشكل صلع). يركز علاج الوظائف على القضايا التأسيسية ، مثل مفاهيم المجال ، والمدى ، وعكس الوظيفة التي رأيت العديد من طلاب التفاضل والتكامل يتخبط بسبب الفهم غير الكامل لهذه المفاهيم الأساسية ، لذلك يسعدني أن أرى أن النص يكرس قدرًا معقولًا من الوقت والمكان لهذه الجوانب العادية ولكن المهمة من النظرية ، استعدادًا لمواد حساب التفاضل والتكامل في السنوات الأخيرة من المدرسة الثانوية.

يتم تنظيم الكتب المدرسية بشكل جيد سواء من خلال المجلدات أو عبر المجلدات (على الرغم من أن نص كل عام & # 8217s في الغالب قائم بذاته ، حيث يقوم بمراجعة موضوعات العام السابق & # 8217 عند الضرورة). غالبًا ما يتم تقديم الموضوعات عدة مرات عبر السلسلة ، في المرة الأولى بطريقة مفاهيمية ومبسطة يتم فيها تجنب أي تفاصيل دقيقة ، مع حدوث علاجات أكثر تفصيلاً في مجلدات لاحقة. تميل الموضوعات ذات الصلة إلى التجميع معًا ، وتظل الفروع العديدة المختلفة لرياضيات المدرسة الثانوية (الجبر ، والهندسة ، والرياضيات المنفصلة ، وما إلى ذلك) متصلة ببعضها البعض في جميع أنحاء ، وبالتالي فإن كل قسم من المواد يعزز الأقسام الأخرى ، مما يؤدي إلى فهم قوي للرياضيات ككل موحد ، بدلاً من مجموعة متباينة من الموضوعات المتخصصة.

مستوى صعوبة هذه النصوص معتدل: من ناحية ، هناك عدد قليل من المشاكل التي تكون صعبة بشكل متعمد أو صعبة بشكل استثنائي (على الرغم من أن مشاكل التحدي في نهاية كل قسم هي بالتأكيد غير تافهة) ، ولكن من ناحية أخرى ، فإن النص يحتوي على لم يتم & # 8220dumbed & # 8221 بأي شكل من الأشكال ، وسيظل على الطلاب فهم المادة فعليًا ، بالإضافة إلى التفكير في الإستراتيجية وحفظ بعض الصيغ والأساليب الرئيسية ، من أجل حل المشكلات المقدمة.

ربما يحتاج الطلاب الموهوبون بشكل خاص والمهتمون بالرياضيات إلى استكمال هذا الكتاب المدرسي بمواد أكثر تقدمًا أو تعقيدًا ، حيث تركز النصوص على الأساسيات والمواضيع الرياضية التي ستكون ذات صلة بأغلبية طلاب المدارس الابتدائية والثانوية الأسترالية ، بدلاً من ذلك. من الخوض في مواضيع أكثر تخصصًا مثل الروابط مع الرياضيات العليا ، أو تطبيقات العالم الحقيقي المعقدة ، أو الألغاز والمفارقات الرياضية ، والتي كنت سأجدها رائعة ، ولكن ربما لا تكون مناسبة لنص عام. على أي حال ، يمكن (بل ينبغي) لمثل هؤلاء الطلاب المتميزين البحث عن مزيد من المعلومات حول هذه الموضوعات بأنفسهم ، على سبيل المثال من خلال المكتبة أو الإنترنت.

باختصار ، هذه كتب مدرسية جادة وجوهرية ينصب التركيز على المحتوى والمفاهيم والحساب ، مع كون & # 8220 أجراس وصفارات & # 8221 في العرض التقديمي بالتأكيد مصدر قلق ثانوي ، لا سيما في المستوى الثانوي. ولكنه يغطي جميع الموضوعات الأساسية المهمة في المناهج الدراسية الأسترالية بدقة وحذر وصحيح ومتماسك وفعال ، وسيتمكن الطالب اليقظ بالتأكيد من الحصول على أسس واسعة وقوية في رياضيات المرحلة الابتدائية العليا وأوائل المرحلة الثانوية من خلال هذه السلسلة ، وهو إعداد ممتاز للحياة اليومية (وخاصة في أي مهنة تركز على التفكير الكمي) ، وكذلك في أي تعليم رياضيات أعلى قد يرغب الطالب في متابعته. في رأيي ، إنها مناسبة بشكل بارز للاستخدام العام في المدارس الأسترالية ، وأنا أؤيدها لهذا الغرض.


14.7: مراجعة المشاكل - الرياضيات

جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI متاحة على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانية كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من قبل المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن عدة تقنيات أو مناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة ويعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


وضعك: أنا أم لخمسة أطفال ، تتراوح أعمارهم بين 7 و 18 عامًا.

لماذا أحببت / لم تعجبك الكتاب: أنا أحب هذا البرنامج من قبل Les Farmer. باستخدام هذا البرنامج ، يمكنني تعليم طفل مصاب بمتلازمة داون وتلميذ رياضيات مربح. يتم تشجيع الطلاب الموهوبين على المضي قدمًا بينما يمكن للطلاب المتعثرين التحرك بشكل أبطأ والاستمرار في التقدم. إن فكرة طباعة دروس الرياضيات على جانب واحد فقط من الورقة فكرة عبقرية! تعتبر الصفحة الفارغة المقابلة أقل تشتيتًا وتتيح مساحة كبيرة لحل المشكلة. يمكن للمدرس بعد ذلك رؤية عمل الطفل بسهولة ومعرفة كيفية مساعدته على التحسن. السيدة فارمر معلمة رياضيات مسيحية. إنها ترى قيمة استخدام الكتاب المقدس لتحسين مهارة مشكلة الكلمات ومهارات قراءة الرسم البياني. البرنامج كما يوحي اسمه ، برنامج إتقان. يمكن للطفل أن ينتقل بسهولة من هذا البرنامج إلى مرحلة ما قبل الجبر في الصف السابع.
يأتي دليل المعلم بوسائل تلاعب عملية وممتعة. هذه مصنوعة من ورق متين وستحتاج إلى قطع. بعضها يتطلب مشابك نحاسية. أحببت عجلات الضرب. حتى أن صديقتي استعارت بعض وسائل التلاعب في إتقان الرياضيات لدينا لمساعدة أطفالها الذين حصلوا على تعليم عام خلال فصل الصيف. Even without the whole program, those simple, easy-to-assemble manipulatives were very helpful. There seems to be few problems on each page, but this is to fool the child into practicing more on longer problems. Even a 1st grade child will soon be doing problems like 2147 + 7520 = ____ and 23 + 93 + 73 + 25 = _____ I wish I had found this when my oldest was in first grade.

I don't consider this a downfall, but this program does not directly teach time, measurement, or geometry. The teacher's guide and some of the simple paper manipulatives that are included in the course do allow for the separate teaching of these skills as the teacher deems needed. I grabbed a time and measurement workbook from WalMart and that worked for all my kids. My kids enjoyed the change in format for a short time and the workbooks were cheap as well as easy to use. Some may find that a downfall, so I will mention it here.

Any other helpful hints: Are you willing to think out of the box? That would help your child use this program as it was originally designed. However, Ms. Farmer has included an more standard scope and sequence as an alternative to her order.

Your situation: Homeschooling 4 children, pre-K through 5th grade.

Why you liked/didn't like the book: I first discovered Mastering Mathematics when looking for a program to tutor my high-school age niece in elementary math. Using the assessements we were able to pinpoint her gaps and fill the holes. Since then I have used Mastering Mathematics as my primary mathematics program for my oldest two children, currently 5th grade and 3rd grade. This year I'll begin another child in the addition level. I only use the workbooks and supplement with our own manipulatives and flash cards. The workbooks are clear, easy to follow, and not overwhelming. The children begin learning how to add large numbers right away, using only 1 and 2 facts, and build upon those facts through the addition book. Once addition is learned, then they move on to learn its opposite subtraction. My oldest daughter actually found it easy to work on multiplication once she finished the addition book. Both my older kids have a great sense of satisfaction when they finish a book and know they can "Add anything" (same with the other operations). My 5th grader has solely used this program, with supplemental worksheets from themathworksheetsite.com when additional practice was needed. Today she is doing what would be 6th grade math. My 3rd grader has a slower time learning and a harder time focuses, the simple pages and the fact everything builds on each other really makes him enjoy math. I look forward to using this program for my younger two children.

Any other helpful hints: - At some point, the bigger numbers in the addition book can be overwhelming for a young student. We found success in putting the book aside and working on another operations (multiplication or subtraction) or using supplemental worksheets from themathworksheetsite.com that focused on facts they still struggled with.

- Sometimes the kids want to learn more about the other operations as well. It's okay to be working in more than workbook at a time. My daughter ususally has two or three going at the same time and she chooses what she wants to work on. It all gets done, but in a way where she feels she has a choice in the outcome.

I have only used this program for my first child for 1st and now 2nd grade. you can buy the whole program with teachers manual and consumable workbooks and homemade flashcards and manipulatives for around 150 i think ( can't remember this so check website if interested). The pros to this program are simple teaching method - start with one type problem, master it then move on. The workbooks are very simple, no bright colorful distractive stuff. It is written to the student so if they read well they can do most on their own although my daughter would rather have me explain everything. she's too impatient to try to understand it on her own! The major drawback so far that I see with this program is the terribly disorganized teachers/parents manual. It jumps all over the place and its hard to find the information you need at times. Also the manipulatives take forever to put together although the games did motivate my daughter at first to enjoy math a little more. For math fact memorization they have you drill with flashcards but I like a written record so we are using calculadder for this. Bottom line on this program is right now I don't see anything better, and even though my daughter does not like drill she likes this program and seems to have a good understandig of math concepts so far. Also I noticed in reviews of Making Math Meaningful no Temp. and Time and measurement stuff is included. This program does have all of that.


What you need to know about this 4th grade math test

Note: A score of 25 or more on this 4th grade math test is a good indication that most skills taught in 4th grade were mastered.

If you struggled a lot on this 4th grade math test, get someone to help you.

Want a solution to this test? Add to your shopping cart and purchase a Detailed 15 PAGES SOLUTION and TOP-NOTCH EXPLANATIONS with PayPal. 

I tried my best to make this 4th grade math test in line the national standards

To print this 4th grade math test, Click here


شاهد الفيديو: حل مشكلة الرياضيات نهائيا. (ديسمبر 2021).