مقالات

7.4: مسائل التوافقية العامة - الرياضيات


كما هو الحال في كثير من الأحيان ، فإن ممارسة نوع واحد من المشكلات في كل مرة يساعد في إتقان التقنيات اللازمة لحل هذا النوع من المشكلات. في هذا القسم ، يتم دمج أنواع المشكلات من الأقسام الثلاثة السابقة.

تمارين 4.4
ضبط أنا
1) كم عدد السلاسل المكونة من ستة أحرف صغيرة من الأبجدية الإنجليزية
( رباعي ) أ) الحرف (أ؟ )
( رباعي ) ب) الأحرف (أ ) و (ب ) في مواضع متتالية مع (أ ) يسبق (ب ) ، مع تمييز جميع الأحرف؟
( رباعي ) ج) الأحرف (أ ) و (ب ) ، حيث يوجد (أ ) في مكان ما على يسار (ب ) في السلسلة ، مع تمييز جميع الأحرف؟
2) سبع نساء وتسعة رجال في هيئة التدريس في قسم الرياضيات في المدرسة.
( quad ) أ) كم عدد الطرق المتاحة لاختيار لجنة من خمسة أعضاء من القسم إذا كان لابد من وجود امرأة واحدة على الأقل في اللجنة؟
( رباعي ) ب) كم عدد الطرق المتاحة لاختيار لجنة من خمسة أعضاء من القسم إذا كان يجب أن تكون امرأة واحدة على الأقل ورجل واحد على الأقل في اللجنة؟
3) افترض أن القسم يحتوي على 10 رجال و 15 امرأة. ما هو عدد الطرق المتاحة لتشكيل لجنة من 6 أعضاء إذا كان يجب أن يكون لها نفس العدد من الرجال والنساء؟
4) الأبجدية الإنجليزية تحتوي على 21 حرفًا ثابتًا و 5 أحرف متحركة. كم عدد السلاسل المكونة من 6 أحرف صغيرة من الأبجدية الإنجليزية تحتوي على:
( رباعي ) أ) حرف متحرك واحد بالضبط؟
( رباعي ) ب) 2 أحرف متحركة بالضبط؟
( رباعي ) ج) حرف متحرك واحد على الأقل؟
( رباعي ) د) 2 أحرف متحركة على الأقل؟
5) كم عدد الطرق المتاحة لاختيار 12 دولة في الأمم المتحدة للعمل في مجلس ما إذا تم اختيار 3 من كتلة مكونة من 45،4 من كتلة (57 ، ) وتم اختيار الآخرين من بين 69 دولة المتبقية؟
6) افترض أن القسم يضم 10 رجال و 15 امرأة. ما هو عدد الطرق المتاحة لتشكيل لجنة من 6 أعضاء إذا كان يجب أن يكون عدد النساء فيها أكبر من عدد الرجال؟
7) كم عدد لوحات السيارات المكونة من ثلاثة أحرف متبوعة بثلاثة أرقام ولا تحتوي على حرف أو رقم مرتين؟
8) في بطولة التنس النسائية في ويمبلدون ، يتنافس اثنان من المتأهلين للتصفيات النهائية ، A و B ، على اللقب ، والذي سيتم منحه لأول لاعب يفوز بمجموعتين. ما هو عدد الطرق المختلفة لإكمال المباراة؟
9) في بطولة تنس الرجال في ويمبلدون ، يتنافس اثنان من المتأهلين للتصفيات النهائية ، (أ ) و (ب ) ، على اللقب ، والذي سيتم منحه لأول لاعب يفوز بثلاث مجموعات. ما هو عدد الطرق المختلفة لإكمال المباراة؟
10) ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها اختيار هيئة مؤلفة من 12 محلفًا واثنين من المحلفين البديلين من مجموعة من 30 محلفًا محتملاً؟

المجموعة الثانية
11) في الفصل 20 طالباً ، 12 منهم إناث و 8 ذكور. ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار لجنة مكونة من خمسة طلاب من الفصل إذا:
( quad ) أ) لا توجد قيود على اختيار الطلاب
( quad ) ب) لا يوجد ذكور في اللجنة
( رباعي ) ج) يجب أن يكون للجنة ثلاث عضوات وعضوان من الذكور
12) يتم اختيار لجنة الرقص المدرسي من مجموعة من الطلاب تتكون من ستة طلاب جدد وثمانية طلاب في السنة الثانية واثني عشر صغارًا وعشرة من كبار السن. إذا كان ينبغي أن تتكون اللجنة من اثنين من الطلاب الجدد ، وثلاثة طلاب في السنة الثانية ، وأربعة صغار وخمسة من كبار السن ، فكم عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟
13) فرقة مسرحية تتكون من 22 ممثلاً - 10 رجال و 12 امرأة. في المسرحية التالية ، يحتاج المخرج إلى تمثيل رجل قيادي ، وقيادة ، ودعم دور الرجل ، ودعم دور المرأة ، وثمانية إضافات (ثلاثة رجال وخمس نساء). ما هو عدد الطرق التي يمكن بها إلقاء هذه المسرحية؟
14) يمتلك مدرب الهوكي 20 لاعباً منهم 12 مهاجم وستة يلعبون في الدفاع واثنان حراس المرمى ما هو عدد الطرق التي يمكن للمدرب فيها اختيار تشكيلة تتكون من ثلاثة مهاجمين واثنين من لاعبي الدفاع وحارس مرمى واحد؟
15) كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب عشرة طلاب على التوالي للحصول على صورة الفصل إذا أراد جون وجين الوقوف بجانب بعضهما البعض وأراد إد وسالي أيضًا الوقوف بجانب بعضهما البعض؟
16) ما هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الطلاب في المسألة السابقة إذا أراد إد وسالي الوقوف بجانب بعضهما البعض ، لكن جون وجين يرفضان الوقوف بجانب بعضهما البعض؟
17) كم عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها أربعة رجال وأربع نساء على التوالي من ثمانية مقاعد إذا:
( quad ) أ) يشغل الرجل المقعد الأول
( quad ) ب) تشغل النساء المقعدين الأول والأخير

المجموعة الثالثة
18) رقم الضمان الاجتماعي للشخص عبارة عن سلسلة من تسعة أرقام ليست بالضرورة مميزة. كم عدد أرقام الضمان الاجتماعي الممكنة؟
19) اسم المتغير في لغة البرمجة الأساسية هو إما حرف أبجدي أو حرف متبوع برقم. كم عدد أسماء المتغيرات المميزة الموجودة في اللغة الأساسية؟
20) أ) كم عدد الأرقام الزوجية بين 0 و 100؟
ب) كم عدد الأرقام الزوجية ذات الأرقام المميزة بين 0 و
(100 ?)
21) هناك ستة أحرف - ثلاثة أحرف من الأبجدية الإنجليزية متبوعة بثلاثة أرقام - تظهر على اللوحة الخلفية لعلامة تجارية معينة للطابعة كرقم تعريف. ابحث عن عدد أرقام التعريف المحتملة إذا
( quad ) a) يمكن تكرار الأحرف
( رباعي ) ب) لا يمكن تكرار الأرقام
( quad ) c) لا يمكن تكرار الأحرف
( quad ) d) لا يمكن تكرار الأحرف
22) يسمى تسلسل الأحرف بالتناظر إذا كان يقرأ نفسه للأمام وللخلف. على سبيل المثال ، ( mathrm {K} 98 mathrm {EE} 89 mathrm {K} ) عبارة عن ثمانية أحرف متناظرة و ( mathrm {K} 98 mathrm {E} 89 mathrm {K} ) هو متناظرة من سبعة أحرف. A MAN A PLAN AANAL PANAMA هي أيضًا متناظرة مثلها مثل الفئران التي رأيتها ، TACO CAT ، TANGY GNAT ، وليس ODD أو حتى. ابحث عن عدد متناظرات الأحرف التسعة التي يمكن تشكيلها باستخدام أحرف الأبجدية بحيث لا يظهر أي حرف أكثر من مرتين في كل حرف.
23) أوجد عدد الطرق لتشكيل تسلسل من أربعة أحرف باستخدام الأحرف (A ) ،
B ، (C ، D ) و (E ) إذا:
( رباعي ) أ) يسمح بالتكرار
( رباعي ) ب) لا يسمح بالتكرار
( quad ) c) يحتوي التسلسل على الحرف (A ) لكن التكرار غير مسموح به
( رباعي ) د) يحتوي التسلسل على الحرف (أ ) ويسمح بالتكرار
24) هناك 10 أعضاء A و B و C و D و E و F و G و H و I و J في لجنة جمع الأموال. المهمة الأولى للجنة هي اختيار رئيس وسكرتير وأمين صندوق من هذه المجموعة. لا يمكن لأي فرد شغل أكثر من مكتب واحد. كم عدد الطرق التي يمكن بها ملء هذه الوظائف الثلاثة إذا:
( quad ) أ) لا أحد لديه أي مانع لتولي أي من هذه المكاتب
( quad ) ب) يجب أن يكون الرئيس
( quad ) c) ( quad ) ب لا يريد أن يكون الرئيس
( quad ) d) ( quad ) لا يرغب أ في العمل كرئيس أو سكرتير
( quad ) e) يجب أن أكون أنا أو ياء أمين الصندوق
( quad ) f) ( quad ) E أو (F ) أو (G ) يجب أن يشغل أحد المكاتب الثلاثة
25) ابحث عن عدد طرق انتقاء كل من التالي من مجموعة أوراق قياسية.
( رباعي ) أ) ملك وملكة
( رباعي ) ب) ملك أو ملكة
( رباعي ) ج) ملك وبطاقة حمراء
( رباعي ) د) ملك أو بطاقة حمراء
26) هناك ثلاثة جسور تربط المدينتين أ و ب بين البلدتين ب و
ج ـ هناك أربعة جسور. يحتاج مندوب المبيعات للسفر من أ إلى ج عبر ب.
( رباعي ) أ) عدد الخيارات الممكنة للجسور من أ إلى (ج )
( quad ) ب) عدد الخيارات لرحلة ذهابًا وإيابًا من A إلى C والعودة إلى A.
( quad ) c) عدد الخيارات لرحلة الذهاب والإياب إذا لم يتم عبور الجسر مرتين
27) يسمى تسلسل الأرقام التي يكون فيها كل رقم 0 أو 1 رقمًا ثنائيًا. غالبًا ما يشار إلى الأرقام الثنائية المكونة من ثمانية أرقام باسم "بايت".
( quad ) أ) كم عدد البايتات الممكنة؟
( quad ) ب) كم عدد البايتات التي تبدأ بـ 10 وتنتهي بـ (01؟ )
( quad ) c) كم عدد البايتات التي تبدأ بـ 10 لكن لا تنتهي بـ (01؟ )
( quad ) d) كم عدد البايتات التي تبدأ بـ 10 أو تنتهي بـ (01؟ )
28) مجموعة من 12 يجلسون في صف واحد من الكراسي. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها إذا:
( رباعي ) أ) يجب أن يجلس شخصان (أ ) و (ب ) بجانب بعضهما البعض؟
( رباعي ) ب) يجب ألا يجلس شخصان (أ ) و (ب ) بجانب بعضهما البعض؟
29) المتغير في لغة FORTRAN هو عبارة عن تسلسل يتكون من ستة أحرف كحد أقصى حيث يكون الحرف الأول حرفًا أبجديًا بينما تكون الأحرف المتبقية (إن وجدت) إما أحرفًا أو أرقامًا. كم عدد أسماء المتغيرات المميزة الممكنة؟
30) أربع سيارات ستايشن واغن وخمس سيارات سيدان وستة عربات صغيرة متتالية
15 مساحة. ابحث عن طرق لإيقاف المركبات إذا:
( رباعي ) أ) ستايشن واغن متوقفة في البداية ، ثم سيارات السيدان ، ثم الشاحنات
( رباعي ) ب) يجب إيقاف المركبات من نفس النوع معًا


ندوة MIT-Harvard-MSR Combinatorics

معدل التقارب لمسيرة عشوائية على الرسم البياني كايلي للمجموعة البديلة A_n فيما يتعلق بفئة اقتران C مع دعم sup (C) le (1- delta) n هو Theta () .

هذا تعميم بعيد المدى لنتيجة شهيرة من Diaconis و Shahshahani. على وجه الخصوص يحل مشكلة مفتوحة من Diaconis.

يتم الحصول على النتيجة من خلال حدود عليا جديدة لصفات المجموعات المتماثلة ، وتقديرات لاحتمالية لوحة معيارية عشوائية للوفاء بشروط معينة.

تشير التقديرات الخاصة بالأحرف إلى خصائص التمدد لبعض رسوم كايلي البيانية للمجموعات المتماثلة ، والنتائج على تحلل تمثيل الاقتران لهذه المجموعات.

الجمعة 7 تشرين الأول (أكتوبر) الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

خوارزميات Hypergraph على الإنترنت ، وإرضاء فريد لجمل Horn ، والبرمجة المنطقية

الرسم البياني الفائق H ، حيث يتم تعيين رأس واحد من كل hyperedge e بالرأس وتشكل الرؤوس المتبقية لـ e الذيل ، نموذجًا لمجموعة من جمل القرن (النقية). نقدم خوارزمية خطية عبر الإنترنت لإيجاد دورات في مثل هذا الرسم البياني الفائق عند إضافة الحواف عبر الإنترنت ، والتي نستخدمها للحصول على خوارزمية (الوقت الخطي) الأمثل لتحديد ما إذا كانت مجموعة من عبارات القرن (العامة) مرضية بشكل فريد. نقدم أيضًا خوارزمية فعالة عبر الإنترنت للحفاظ على المسافة من قمة معينة r إلى جميع القمم الأخرى للرسم البياني عند حذف الحواف الفائقة عبر الإنترنت. نناقش العديد من التطبيقات الطبيعية للخوارزمية الأخيرة ، بما في ذلك تطبيق على الدلالات الراسخة في البرمجة المنطقية.

الأربعاء 2 نوفمبر الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

الأعداد السطحية للمجمعات التي يحدها عمق حلقة ستانلي ريزنر

سيتم إعطاء توصيف للأعداد المحتملة من الوجوه للمجمعات البسيطة التي تحتوي حلقة Stanley-Reisner على عمق k أو أكبر. بالنسبة إلى k = 0 (بدون شرط) ، فإن هذا يعطي نظرية Kruskal-Katona ولأقصى عمق (حالة Cohen-Macaulay) فهو متخصص في نظرية ستانلي. تشمل الحالات الوسيطة توصيف متجهات f للمجمعات المتصلة. في نسخة أكثر عمومية ، تتضمن النظرية العامة أيضًا أرقام Betti للمركب.

لن يتم افتراض أي معرفة سابقة بالمنطقة - ستتم مراجعة النتائج القديمة.

الأربعاء 9 نوفمبر الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

نظرة عامة على كثيرات حدود شوبرت

متعددات حدود شوبرت هي عائلة رائعة من كثيرات الحدود المتعلقة بهندسة مشعبات العلم. نقدم نظرية موحدة لكثيرات حدود شوبرت للمجموعات الكلاسيكية في سياق التوافقية والهندسة الجبرية.

تاريخيًا ، تم تعريف متعدد حدود Schubert (للنوع A) بواسطة Lascoux و Schutzenberger لتبسيط حسابات تعدد التقاطع لأصناف شوبرت ولتقديم ممثلين صريحين لفئات شوبرت التي حددها برنشتاين وجيلفاند وجيلفاند. في الآونة الأخيرة ، تمت دراسة كثيرات حدود Schubert من قبل التوافقي الجبري بسبب صلاتهم بنظرية الدوال المتماثلة ونظرية التمثيل والكلمات المختصرة.

في هذا الحديث ، سنقدم بعضًا من الخلفية من الهندسة الجبرية على مشعبات العلم وحلقات علم التشابه. من الهندسة هناك بناء طبيعي يحدد متعدد حدود شوبرت. بمجرد أن يكون لدينا تعريف عام لهذه كثيرات الحدود ، يمكننا تقديم صيغ لـ Schubert متعدد الحدود لكل من أنظمة الجذر من النوع A و B و C و D. يتم تعريف هذه الصيغ من حيث وظائف Schur Q ، ومراسلات Haiman لـ B_n و D_n الكلمات المختصرة ، ووظائف ستانلي المتماثلة. نختتم ببعض التخمينات لتوسيع منتجات Schubert متعدد الحدود في حالات خاصة ، هذه الحالات الخاصة تتوافق مع نظائر قواعد Pieri لوظائف Schur.

عشاء الرياضيات المنفصل ، 9 نوفمبر ، 6:00 مساءً ، Cambridge Brewing Company

سيتم تخفيض تكلفة طلاب الدراسات العليا والطلاب الجامعيين إلى $ 7 $ (بما في ذلك المشروبات). يجب أن تكون التكلفة بالنسبة لبقيتنا أقل من 20 دولارًا دولارًا للفرد.

الأربعاء 16 نوفمبر الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

الدالة المتماثلة لدورة المسار للرسم البياني

قام R. Stanley بتعميم كثير الحدود اللوني للرسم البياني على دالة متماثلة. بشكل مستقل ، قام F. Chung و R. Graham بتعريف دجراف متعدد الحدود يسمى متعدد حدود الغلاف ، والذي له صلات وثيقة مع كثيرات الحدود اللونية وأيضًا متعدد الحدود. في هذا البحث نقوم بتقليد بناء ستانلي لتحديد تعميم وظيفة متناظرة للغطاء متعدد الحدود. نحصل على تعميمات ونظائرها للعديد من نتائج ستانلي وتشونغ وغراهام وغيرهم. بالإضافة إلى ذلك ، أثبتنا نظرية المعاملة بالمثل الاندماجية التي تربط بشكل غير متوقع عددًا من النتائج المتناثرة في الأدبيات التي بدت سابقًا غير ذات صلة ، ونحدد أساسًا جديدًا للوظيفة المتماثلة الذي يبدو أنه نظير طبيعي لأساس متعدد الحدود $_$.

الأربعاء 30 نوفمبر الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

نظير تحويل فورييه للوظائف المتماثلة

بدافع من الأسئلة في الفيزياء الرياضية (لا سيما عمل Kontsevich) ، قمنا أنا وكابرانوف بدراسة المسألة التالية. بالنظر إلى S_n-modules a (n) ، اربط بالرسم البياني G مساحة المتجه a (G) المعطاة عن طريق الشد معًا نسخة من a (n) لكل رأس من G من التكافؤ n ، ثم أخذ المتغيرات المشتركة ضمن مجموعة autoorphism من الآن جمع a (G) على جميع الرسوم البيانية بخاصية أويلر المعطاة. نشتق صيغة لأبعاد هذا الفضاء المتجه باستخدام نظرية الدوال المتماثلة. يمكن تطبيق هذه الصيغة لحساب توليفات معينة من خصائص أويلر لمساحات المعادلات لأسطح ريمان.

الجمعة 2 ديسمبر ، الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

ثوابت البنية لكثيرات حدود شوبرت

نشأت كثيرات حدود شوبرت من دراسة أصناف العلم في الهندسة الجبرية. في الآونة الأخيرة ، تم توضيح العديد من خصائصها باستخدام التوافقية والجبر. تتمثل إحدى المشكلات الأساسية المفتوحة في إعطاء قاعدة لضرب اثنين من متعددات حدود Schubert ، أي إعطاء قاعدة من نوع Littlewood-Richardson لثوابت بنيتهم.

في هذا الحديث ، سننشئ معادلة تناظر قاعدة بيري لكثيرات حدود شوبرت. سبق أن توقع بيرجيرون وبيلي هذا الأمر. بينما تأتي أساليبنا من الهندسة الجبرية ، فإن الدليل الذي نقدمه يتضمن فقط الجبر الخطي الأولي (وإن كان معقدًا!).

الأربعاء 7 ديسمبر الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

جاي جولدمان (مينيسوتا ومعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا)

العقد والتشابك والرسوم البيانية الموقعة

الرسوم البيانية الموقعة للتشابكات أو روابط الأنفاق عبارة عن شبكات موقعة ذات طرفين. يحتوي الأخير على شبكات كهربائية سلبية ذات طرفين. يتم تحديد التوصيل عبر طرفي مثل هذه الشبكة الموقعة ، وتعميم المفهوم الكهربائي الكلاسيكي. الموصلية هي ثابت طوبولوجي للوصلة المتشابكة أو النفق المقابلة. تنتج طرق المثلث المتسلسل والمتوازي والنجمي المعممة من السياق الكهربائي التفسير الطبيعي الأول لتحركات Reidemeister الرسومية. الموصلية حساسة للكشف عن صور المرآة والربط. جزء كونواي المستمر من التشابك المنطقي هو موصلية وهذا يؤدي إلى إثبات أولي لتصنيف كونواي للتشابك العقلاني. ترتبط المواصلة بتقييمات كثيرات حدود جونز وكونواي.

الجمعة 9 كانون الأول (ديسمبر) الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

حول قواعد ليتلوود - ريتشاردسون ومورناغان - ناكاياما

قاعدة مورناغان-ناكاياما هي قاعدة اندماجية صريحة لحساب قيمة شخصية غير قابلة للاختزال للمجموعة المتماثلة S_n في فئة اقتران معينة. تصف قاعدة Littlewood- Richardson المماثلة معاملات توسع تمثيل الانحراف لـ S_n إلى غير قابلة للاختزال.

نحن نستخدم دوال شور غير التبادلية لتعميم هذه القواعد على فئة كبيرة من تمثيلات S_n ، بما في ذلك تلك المتعلقة بتعدد حدود Schubert / Grothendieck المستقر. سيتم أيضًا تقديم إصدارات بديلة من قواعد LR و MN الكلاسيكية.

معظم النتائج الجديدة مشتركة مع كورتيس جرين.

الأربعاء 14 ديسمبر الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

الحد الأقصى لعدد الملوك غير المهاجمين الذين يمكن وضعهم على رقعة شطرنج 2mx2n هو مليون. السؤال هنا هو تحديد f (m، n) ، وهو عدد هذه المواضع. طرح هذا السؤال من قبل D.E Knuth في القضية م = ن.

باستخدام طريقة مصفوفة النقل ، نعبر أولاً عن وظيفة التوليد لـ f (m ، n) كمجموع إدخالات x (Ix Lambda) ^ <-1> ، حيث تكون مصفوفة النقل Lambda هي (m + 1) 2 ^ م في (م + 1) 2 ^ م $. ثم نقدم ترتيبًا جزئيًا للتكوينات بطريقة تجعل مصفوفة النقل Lambda مثلثة الكتلة العلوية ، ونناقش أطياف الكتل القطرية. والنتيجة هي أنه لدينا لكل متر ثابت

f (m، n) = (c_mn + d_m) (m + 1) ^ n + O ( theta_m ^ n) (كما يذهب n إلى اللانهاية) ،

حيث | theta_m | & lt م + 1. أخيرًا ، نناقش أيضًا بعض الأعمال ذات الصلة حول المشكلة من قبل باحثين آخرين وبعض الأسئلة المفتوحة.

الجمعة 16 ديسمبر الساعة 4:15 مساءً معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، غرفة 2-338

وليام جوكوش (ميشيغان)

بعض عوامل مصفوفة غامضة

سأقدم بعض تحليل عوامل المصفوفة الغامضة التي نشأت في دراسة Brauer's Centralizer Algebras والتي أود أن أفهمها بشكل أفضل. آمل أن يكون أحد من الجمهور قد رأى شيئًا مثلهم من قبل أو سيكون لديه بعض الأفكار حول ما يجري.


إعادة التأكيد على ما قيل سابقًا في تعليق:

إجابتك صحيحة تقريبًا ، لكنك أخطأت في اختيار المواضع مرتين بدلاً من مرة واحدة فقط. من خلال اختيار المناصب الأربعة التي ستشغلها الأحرف ثم مرة أخرى اختيار المواضع الثلاثة التي يجب أن تشغلها أرقام واختيار المواضع المذكورة من بين المواقع السبعة الأصلية ، ستكون قد خاطرت باختيار نفس الموضع عدة مرات لتعيينه إلى يمكن استخدامها في نفس الوقت عن طريق الحرف و رقم.

بدلاً من ذلك ، كان يجب تحديد مواضع الأرقام من بين المراكز المتبقية غير مستعمل صفقات تعطي إجمالي $ binom <3> <3> = 1 $ الطريقة التي يمكن بها إنجاز هذه الخطوة ، هذه هي مجرد طريقة $ 1 $ يمكن تركها خارج المنتج النهائي. هذا يترك الإجابة النهائية على النحو التالي:

قارن هذا بمشكلة أكبر قليلاً حيث لديك 26 دولارًا من الأحرف للاختيار من بينها ، و 10 دولارات للأرقام ، و 15 دولارًا للرموز الخاصة (على سبيل المثال! @ # $٪ ^ وما إلى ذلك.) ونريد إنشاء كلمة مرور مكونة من عشرة أحرف تتكون من أحرف $ 6 و $ 3 أرقام و $ 1 $ رمز خاص مع التكرار المسموح به.

نختار أولاً المواضع التي تستخدمها الحروف ، ثم من تلك المناصب المتبقية اختر المواضع المستخدمة من قبل الأرقام ، مع ترك الموضع النهائي المتبقي يشغلها الرمز ، ثم اختر الأحرف والأرقام والرمز الذي تصادف وجوده لإجمالي عدد:


محتويات

إعطاء رقم معين ن من الأشخاص ، هل من الممكن تعيينهم لمجموعات بحيث يكون كل شخص في مجموعة واحدة على الأقل ، كل زوج من الأشخاص في مجموعة واحدة بالضبط معًا ، كل مجموعتين بها شخص واحد مشترك بالضبط ، ولا توجد مجموعة تحتوي على الجميع ، لكن شخص واحد أم شخص واحد بالضبط؟ الجواب يعتمد على ن.

هذا له حل فقط إذا ن لديه الشكل ف 2 + ف + 1. ليس من السهل إثبات وجود حل إذا ف هي قوة أولية. من المفترض أن هذه هي فقط حلول. وقد تبين كذلك أنه إذا كان هناك حل ل ف يتوافق مع 1 أو 2 mod 4 ، إذن ف هو مجموع رقمين مربعين. هذه النتيجة الأخيرة ، نظرية Bruck-Ryser ، تم إثباتها من خلال مجموعة من الأساليب البناءة القائمة على الحقول المحدودة وتطبيق الصيغ التربيعية.

عندما يكون مثل هذا الهيكل موجودًا ، يُطلق عليه اسم المستوى الإسقاطي المنتهي ، مما يوضح كيفية تقاطع الهندسة المحدودة والتوافقية. متي ف = 2 ، يسمى المستوى الإسقاط طائرة فانو.

تعود التصاميم التوافقية إلى العصور القديمة ، حيث كانت ساحة Lo Shu ساحة سحرية مبكرة. تم العثور على أحد أقدم تطبيقات البيانات للتصميم الاندماجي في الهند في الكتاب برات سامهيتا بواسطة Varahamihira ، كتب حوالي 587 بعد الميلاد ، لغرض صناعة العطور باستخدام 4 مواد منتقاة من 16 مادة مختلفة باستخدام مربع سحري. [2]

تم تطوير التصاميم التوافقية جنبًا إلى جنب مع النمو العام للتوليفات من القرن الثامن عشر ، على سبيل المثال مع المربعات اللاتينية في القرن الثامن عشر وأنظمة شتاينر في القرن التاسع عشر. كانت التصاميم شائعة أيضًا في الرياضيات الترفيهية ، مثل مشكلة تلميذة كيركمان (1850) ، وفي المشكلات العملية ، مثل جدولة بطولات الدوري (تم نشر الحل في ثمانينيات القرن التاسع عشر). في القرن العشرين ، تم تطبيق التصاميم على تصميم التجارب ، ولا سيما المربعات اللاتينية ، والهندسة المحدودة ، ومخططات الارتباط ، مما أسفر عن مجال الإحصاء الجبر.

تم بناء الجوهر الكلاسيكي لموضوع التصميمات الاندماجية حول تصميمات الكتل المتوازنة غير الكاملة (BIBDs) ، ومصفوفات Hadamard وتصميمات Hadamard ، و BIBDs المتماثلة ، والمربعات اللاتينية ، و BIBDs القابلة للحل ، ومجموعات الفروق ، والتصميمات المتوازنة الزوجية (PBDs). [3] التصاميم التجميعية الأخرى مرتبطة أو تم تطويرها من دراسة هذه التصميمات الأساسية.

  • أ تصميم كتلة متوازن غير مكتمل أو BIBD (تسمى عادةً اختصارًا لتصميم الكتلة) هي مجموعة ب من ب مجموعات فرعية (تسمى كتل) من مجموعة محدودة X من الخامس العناصر ، مثل أي عنصر من عناصر X موجود في نفس الرقم ص من الكتل ، كل كتلة لها نفس العدد ك من العناصر ، ويظهر كل زوج من العناصر المميزة معًا في نفس العدد λ من الكتل. تُعرف BIBDs أيضًا باسم 2-التصاميم وغالبًا ما يُشار إليها بالرمز 2- (الخامس,ك، λ) التصاميم. كمثال ، عندما λ = 1 و ب = الخامس، لدينا طائرة اسقاطية: X هي مجموعة نقاط المستوى والكتل هي الخطوط.
  • أ تصميم كتلة غير مكتمل متوازن متماثل أو SBIBD هو BIBD فيه الخامس = ب (عدد النقاط يساوي عدد الكتل). هم الفئة الفرعية الأكثر أهمية والمدروسة جيدًا من BIBDs. الطائرات الإسقاطية والطائرات ذات السطحين وتصميمات Hadamard 2 كلها SBIBDs. إنها ذات أهمية خاصة لأنها أمثلة متطرفة لعدم المساواة فيشر (بالخامس).
  • أ BIBD قابل للحل هو BIBD الذي يمكن تقسيم كتلته إلى مجموعات (تسمى فصول متوازية) ، كل منها يشكل قسمًا لمجموعة نقاط BIBD. تسمى مجموعة الفئات المتوازية a الدقة من التصميم. حل مشكلة 15 تلميذة الشهيرة هو حل BIBD مع الخامس = 15, ك = 3 و λ = 1. [4]
  • أ مستطيل لاتيني هو ص × نمصفوفة تحتوي على الأرقام 1 ، 2 ، 3 ،. ن كمدخلاته (أو أي مجموعة أخرى من ن مميزة) مع عدم ظهور أي رقم أكثر من مرة في أي صف أو عمود حيث صن. ان ن × ن يسمى المستطيل اللاتيني بالمربع اللاتيني. لو ص & lt ن، فمن الممكن إلحاق نص من الصفوف إلى ص × ن مستطيل لاتيني لتشكيل مربع لاتيني ، باستخدام نظرية زواج هول. [5]
  • أ (الخامس, ك، λ) مجموعة الفرق هي مجموعة فرعيةد من مجموعةجي مثل أن ترتيب جي يكون الخامس، بحجم د يكون ك، وكل عنصر عدم هوية من جي يمكن التعبير عنها كمنتج د1د2 −1 من عناصر د بالضبط λ طرق (متى جي مكتوب بعملية مضاعفة). [6]
  • ان مصفوفة هادامارد من أجل م هو م × م مصفوفة ح الذين تكون إدخالاتهم ± 1 من هذا القبيل ح ح ⊤ = مأنام، أين ح ⊤ هو تبديل ح و أنام هل م × م مصفوفة الهوية. يمكن وضع مصفوفة Hadamard فيها شكل موحد (أي ، محولة إلى مصفوفة Hadamard مكافئة) حيث يكون كل من إدخالات الصف الأول والعمود الأول +1. إذا كان الأمر م & GT 2 بعد ذلك م يجب أن يكون من مضاعفات العدد 4.
  • أ تصميم متوازن الزوجي (أو PBD) هي مجموعة X مع عائلة من مجموعات فرعية من X (التي لا تحتاج إلى نفس الحجم وقد تحتوي على تكرارات) بحيث يكون كل زوج من العناصر المميزة X موجود في مجموعات فرعية (عدد صحيح موجب) بالضبط. مجموعة X يُسمح بأن تكون إحدى المجموعات الفرعية ، وإذا كانت جميع المجموعات الفرعية عبارة عن نسخ من X، يسمى PBD تافه. حجم X يكون الخامس وعدد المجموعات الفرعية في الأسرة (محسوبة بالتعدد) هو ب.

ال كتيب التصاميم التجميعية (Colbourn & amp Dinitz 2007) ، من بين أمور أخرى ، 65 فصلاً ، كل منها مخصص لتصميم اندماجي غير تلك المذكورة أعلاه. يتم إعطاء قائمة جزئية أدناه:


متطلبات كتابة مادة الرياضيات (رياضيات 300):

إذا كنت تخصصًا في الرياضيات ، وترغب في إكمال متطلبات الكتابة الرئيسية الخاصة بك من خلال مهمة كتابية في هذا الفصل ، فيرجى إبلاغي بذلك في الأسبوع الأول من الفصل وسنناقشه. لن يتم احتساب مهمة الكتابة هذه في درجتك في هذا الفصل ، ولكنها ستعمل فقط كمتطلب رئيسي للكتابة. إذا قررت القيام بذلك ، يجب عليك كتابة ورقتك حول موضوع في Combinatorics تمت الموافقة عليه من قبلي ، ويجب عليك الالتزام بجدول زمني لتسليم المسودات الذي تم تعيينه في بداية الفصل الدراسي من أجل الحصول على رصيد.


التحليل التوافقي

فرع الرياضيات المخصص لحل مشاكل اختيار وترتيب عناصر مجموعات معينة (محدودة عادةً) وفقًا لقواعد محددة. تحدد كل قاعدة من هذه القواعد طريقة لبناء بعض التكوين لعناصر مجموعة معينة ، تسمى التكوين التوافقي. لذلك يمكن للمرء أن يقول أن الهدف من التحليل التوافقي هو دراسة التكوينات التوافقية. تتضمن هذه الدراسة أسئلة عن وجود تكوينات اندماجية وخوارزميات وبناؤها ، والاستفادة المثلى من هذه الخوارزميات ، وكذلك حل مشاكل العد ، ولا سيما تحديد عدد التكوينات لفئة معينة. أبسط الأمثلة على التكوينات التجميعية هي التباديل والتوليفات والترتيبات.

مجموعة $ X $ من $ n $ من العناصر تسمى $ n $ - عيّن $ m $ - مجموعة فرعية منها ، $ m leq n $ ، تسمى مجموعة من الحجم $ m $. عدد مجموعات الحجم $ m $ من $ n $ للعناصر المميزة تساوي

$ (1 + t) ^ = مجموع _ ^ يسار ( start n م نهاية حق) ر ^ ، اليسار ( ابدأ n 0 النهاية حق) = 1 دولار

عادة ما تسمى صيغة نيوتن ذات الحدين. تسمى الأرقام $ C (n، m) $ المعاملات ذات الحدين. طلب $ m $ - المجموعة الفرعية تسمى ترتيب الحجم $ m $. عدد ترتيبات الحجم $ m $ للعناصر المميزة $ n $ يساوي

$ A (n، m) = n (n - 1) dots (n - m + 1). $

بالنسبة إلى $ m = n $ ، فإن الترتيب هو تبديل لعناصر $ X $ ، وعدد هذه التباديل هو $ P (n) = n! $.

كان ظهور المفاهيم الأساسية والتطورات في التحليل التجميعي موازياً لتطور الفروع الأخرى للرياضيات مثل الجبر ، ونظرية الأعداد ، ونظرية الاحتمالات ، وكلها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالتحليل التوافقي. كانت الصيغة التي تعبر عن عدد التركيبات من حيث المعاملات ذات الحدين وصيغة نيوتن ذات الحدين للأعداد الصحيحة الموجبة $ n $ معروفة بالفعل لعلماء الرياضيات في الشرق القديم. تمت دراسة المربعات السحرية (راجع المربع السحري) من الدرجة الثالثة من أجل نهايات صوفية. ترتبط ولادة التحليل الاندماجي كفرع للرياضيات بعمل ب. باسكال وب. (دي) فيرمات حول نظرية ألعاب الحظ. هذه الأعمال ، التي شكلت أسس نظرية الاحتمالات ، احتوت في نفس الوقت على مبادئ لتحديد عدد مجموعات عناصر مجموعة محدودة ، وبالتالي أرست العلاقة التقليدية بين التحليل التوافقي ونظرية الاحتمالات.

قدم G. Leibniz مساهمة كبيرة في التطوير المنهجي للطرق الاندماجية في أطروحته Ars Combinatoria (فن التوليفات) التي ظهر فيها ، على ما يبدو ، مصطلح "اندماجي" لأول مرة. كانت ورقة Ars Conjectandi (فن التخمين) من تأليف J. Bernoulli ذات أهمية كبيرة لتأسيس التحليل الاندماجي ، وكانت مكرسة للمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات ، وكان من الضروري تحديد عدد من المفاهيم التوافقية والتطبيقات على أعطيت حساب الاحتمالات. يمكن القول أنه مع ظهور أعمال Leibniz و Bernoulli ، بدأت الأساليب الاندماجية في أن تكون فرعًا مستقلًا للرياضيات.

قدم L. Euler مساهمة كبيرة في تطوير الأساليب الاندماجية. في أوراقه حول تقسيم وتحلل الأعداد الصحيحة الموجبة إلى موجزات ، وضع بدايات إحدى الطرق الأساسية لحساب التكوينات التجميعية ، وهي طريقة توليد الدوال.

ارتبطت الخمسينيات من القرن الماضي بتوسيع الاهتمام بالتحليل التجميعي فيما يتعلق بالتطور السريع لعلم التحكم الآلي والرياضيات المنفصلة والتطبيق الواسع لتقنيات الكمبيوتر. في هذه الفترة تم تنشيط الاهتمام بالمسائل الاندماجية الكلاسيكية.

ثبت أن عاملين لهما تأثير في تشكيل اتجاه التحقيقات اللاحقة. من ناحية أخرى ، فإن اختيار كائنات التحقيق من ناحية أخرى ، وتشكيل أهداف التحقيق ، اعتمادًا في الحساب النهائي على مدى تعقيد الأشياء قيد الدراسة. إذا كان التكوين الاندماجي قيد التحقيق له طابع معقد ، فإن الهدف من التحقيق هو توضيح شروط وجوده وتطوير خوارزميات لبناءه.

فرع كبير متطور من التحليل الاندماجي هو نظرية تصميمات الكتل (راجع تصميم القوالب ، وأيضًا [2] ، [3] ، [10]) تتعلق المشكلات الرئيسية لهذا الفرع بمسائل التصنيف وظروف الوجود وطرق بناء فئات معينة من تصاميم الكتل. حالة خاصة من تصميمات الكتل هي ما يسمى بتصميمات الكتل غير المكتملة المتوازنة أو تكوينات $ (b، v، r، k، lambda) $ - والتي يتم تعريفها على أنها مجموعات من $ b $ k $ - مجموعات فرعية من بعض $ v $ - مجموعة ، تسمى كتل ، بشرط أن يظهر كل عنصر في كتل $ r $ وكل زوج من العناصر في كتل $ lambda $. عندما $ b = v $ ، وبالتالي عندما $ r = k $ ، a $ (b، v، r، k، lambda) $ - يسمى التكوين $ (v، k، lambda) $ - التكوين ، أو تصميم كتلة غير مكتمل متوازن متماثل. حتى بالنسبة لتكوينات $ (v، k، lambda) $ - تظل مسألة الشروط الضرورية والكافية لوجودها دون حل (1988). لوجود $ (v، k، lambda) $ - التكوينات من الضروري أنه عندما يكون $ v $ زوجيًا ، يكون $ k - lambda $ مربعًا كاملًا ، بينما عندما يكون $ v $ فرديًا ، فإن المعادلة

$ z ^ <2> = (k - lambda) x ^ <2> + (- 1) ^ <(v - 1) / 2> lambda y ^ <2> $

يجب أن يكون لها حل متكامل في $ x ، y ، z $ ، وليس صفرًا بالكامل.

عندما $ v = n ^ <2> + n + 1 $، $ k = n + 1 $، $ lambda = 1 $ a $ (v، k، lambda) $ - يمثل التكوين مستوى إسقاطي للطلب $ n $ وهي حالة خاصة لهندسة محدودة تحتوي على عدد محدد من النقاط والخطوط وفقًا لشروط الحدوث المحددة. بالمقابلة مع كل مستوى إسقاطي للطلب $ n $ هناك مجموعة كاملة فريدة من $ n - 1 $ زوجيًا من المربعات اللاتينية المتعامدة من النظام $ n $ (راجع المربع اللاتيني). من أجل وجود مستوى إسقاطي للطلب $ n $ ، من الضروري أنه بالنسبة لـ $ n equiv 1 ، 2 $ ($ mathop < rm mod> 4 $) توجد أعداد صحيحة $ a، b $ مثل ذلك

An affirmative solution to the question of the existence of projective planes of order $ n $ has been obtained only for $ n = p ^ alpha $, where $ p $ is a prime number and $ alpha $ is a positive integer. Even for $ n = 10 $ this question remains open (1988). Related to this circle of questions is a result in connection with the falsification of the Euler conjecture on the non-existence of pairs of orthogonal Latin squares of order $ n = 4k + 2 $, $ k = 1, 2 , . . . $( see Classical combinatorial problems).

Another direction in combinatorial analysis relates to selection theorems. At the foundation of a whole series of results along these lines is the P. Hall theorem on the existence of a system of distinct representatives (a transversal) of a family of subsets $ ( X _ <1>dots X _ ) $ of a set $ X $, that is, a system of elements $ ( x _ <1>dots x _ ) $ such that $ x _ in X _ $ and $ x _ eq x _ $ when $ i eq j $. A transversal exists if and only if for any $ i _ <1>dots i _ $ such that $ 1 leq i _ <1>< dots < i _ leq n $, $ 1 leq k leq n $, the following inequality holds:

$ | X _ > cup dots cup X _ > | geq k, $

where $ | ص | $ is the number of elements in $ Y $. A corollary of Hall's theorem is the theorem on the existence of Latin squares, stating that any Latin rectangle of order $ k imes n $, $ 1 leq k leq n - 1 $, can be extended to a Latin square of order $ n $. Another corollary of Hall's theorem: Any non-negative matrix $ A = | a _ | _ ^ $ such that

can be represented in the form

$ A = alpha _ <1>Pi _ <1>+ dots + alpha _ Pi _ , $

where $ Pi _ <1>dots Pi _ $ are permutation matrices of order $ n $ and $ s leq ( n - 1) ^ <2>+ 1 $. Hall's theorem also implies that the minimum number of rows and columns of a non-negative matrix containing all positive elements is equal to the maximum number of elements that pairwise are not in the same row or in the same column. The extremal property of partially ordered sets, which is analogous to this theorem, is established by the theorem stating that the minimum number of non-intersecting chains is the same as the size of the maximal subset consisting of pairwise-incomparable elements. The following theorem also bears an extremal character: If for an $ n $- set $ X $ one collects all the $ C ( n, r) $ combinations of $ r $ elements and partitions them into $ k $ non-intersecting classes, then, given an integer $ m $, there exists an $ n _ <0>= n _ <0>( m, r, k) $ such that for $ n geq n _ <0>$ there is a subset of $ m $ elements $ Y subset X $ for which all the $ C ( m, r) $ combinations belong to the same class.

The travelling-salesman problem is an extremal problem too it consists in composing the shortest route visiting $ n $ towns and returning to the starting point, where the distances between the towns are known. This problem has applications in the study of transportation networks. Combinatorial problems of an extremal character are considered in the theory of flows in networks and in graph theory.

A significant portion of combinatorial analysis consists of enumeration problems. For their solution one either indicates a method of sorting out combinatorial configurations of a given class, or one determines the number of them, or one does both. Typical results of enumeration problems are: The number of permutations of order $ n $ with $ k $ cycles is equal to $ | S ( n, k) | $, where $ S ( n, k) $ is the Stirling number of the first kind, defined by the equation

$ x ( x - 1) dots ( x - n + 1) = sum _ ^ < n >S ( n, k) x ^ $

the number of partitions of a set of $ n $ elements into $ k $ subsets is equal to the Stirling number of the second kind

$ sigma ( n, k) = < frac<1> > sum _ ^ < k >(- 1) ^ left ( egin k j end ight ) ( k - j) ^ $

and, the number of arrangements of $ m $ distinct objects in $ n $ distinct cells with no cell empty is equal to $ n! sigma ( m, n) $.

A useful device for the solution of enumeration problems is the permanent of a matrix. The permanent of a matrix $ A = | a _ | $( $ i = 1 dots n $ $ j = 1 dots m $, $ n leq m $) the elements of which belong to some ring, is defined by the formula

$ mathop < m per>A = sum _ <( j _ <1>dots j _ ) > a _ <1j _ <1>> dots a _ > , $

where the summation is carried out over all possible arrangements of size $ n $ from $ m $ distinct elements. The number of transversals of some family of subsets of a finite set is equal to the permanent of the corresponding incidence matrix.

A whole class of problems on the determination of the number of permutations with restricted positions reduces to the calculation of permanents. For convenience, these problems are sometimes formulated as problems on the arrangement of mutually non-attacking pieces on an $ n imes n $ chessboard. Connected with the determination of the permanents of certain classes of matrices are variants of the problem of dimers, which arises in the study of the phenomenon of adsorption and consists in the determination of the number of ways of combining the atoms of di-atomic molecules on some surface. Its solution can also be obtained in terms of Pfaffians (cf. Pfaffian), which are certain functions of matrices close to determinants. The problem of the number of Latin rectangles (squares) is also connected with the development of effective methods for calculating permanents of certain $ ( 0, 1) $- matrices.

For the calculation of permanents one applies the formula:

$ mathop < m per>A = sum _ ^ < m >(- 1) ^ left ( egin k m - n end ight ) S _ , $

$ S _ = sum _ <1 leq j _ <1>< dots < j _ leq m > prod _ ^ < n >left ( sum _ ^ < m >a _ - sum _ ^ < k >a _ > ight ) . $

There are a large number of inequalities giving an estimate of the size of the permanent in certain classes of matrices. The determination of the extremal values of the permanent in specific classes of non-negative matrices is of interest. For a $ ( 0, 1) $- matrix $ A $ with given values $ r _ <1>dots r _ $ of the number of ones in the rows one has the estimate

راجع [12]. The famous van der Waerden conjecture, that the minimum permanent of a doubly-stochastic matrix of order $ n $ is equal to $ n!/n ^ $ was proved, independently, by D.I. Falikman (1979) and G.P. Egorichev (1980), cf. [13].

An important role in the solution of enumeration problems is played by the method of generating functions (cf. Generating function). A generating function

$ f ( t) = sum _ ^ infty a _ t ^ $

sets up a correspondence between the sequence $ ( a _ <0>, a _ <1>, . . . ) $ and the elements of some ring, and is regarded as a formal power series. According to this definition, generating functions are effectively used for the solution of enumeration problems in parallel with methods of recurrence relations and finite-difference equations. In obtaining asymptotic formulas for the generating functions, analytic functions of a real or complex variable are usually employed. In the latter case, the Cauchy integral is applied in finding expressions for the coefficients.

There are results in the direction of a possible unification of enumeration methods these are connected with the study of so-called incidence algebras and the use of the Möbius function on a partially ordered set (see for example, [10]). In the solution of enumeration problems, an essential role is played by the formalization of the concept of indistinguishability of objects. The use of the notion of equivalence of objects with respect to a certain group of permutations in combination with the application of the method of generating functions forms the basis of the so-called Pólya theory of enumeration (see [10]), the essence of which is as follows. Consider the set $ Y ^ $ of configurations

$ f: X ightarrow Y, | X | = m, | ص | = ن. $

On the set $ X $, a group $ A $ of permutations acts, thus defining an equivalence relation $ sim $ under which $ f sim f _ <1>$, $ f, f _ <1>in Y ^ $, if there exists an $ alpha in A $ such that $ f ( alpha ( x)) = f _ <1>( x) $ for all $ x in X $. To each $ y in Y $ corresponds a characteristic $ [ y] = ( s _ <1>dots s _ ) $, where $ s _ $, $ i = 1 dots k $, are elements of an Abelian group. The characteristic of the configuration $ f $ is given by the formula

If $ a ( s _ <1>dots s _ ) $ is the number of elements $ y in Y $ with a given value of the characteristic and $ b _ ( s _ <1>dots s _ ) $ is the number of inequivalent configurations $ f in Y ^ $,

$ F ( y _ <1>dots y _ ) = sum _ <( s _ <1>dots s _ ) > a ( s _ <1>dots s _ ) y _ <1>^ > dots y _ ^ > , $

$ Phi _ ( y _ <1>dots y _ ) = sum _ <( s _ <1>dots s _ ) > b ( s _ <1>dots s _ ) y _ <1>^ > dots y _ ^ > , $

then Pólya's fundamental theorem states that

$ = Z ( F ( y _ <1>dots y _ ), F ( y _ <1>^ <2>dots y _ ^ <2>) dots F ( y _ <1>^ dots y _ ^ )), $

where $ Z $ is the cyclic index of the group $ A $, defined by the equation

$ = sum _ + 2j _ <2>+ dots + mj _ = n > C ( j _ <1>dots j _ A) t _ <1>^ > dots t _ ^ > , $

and $ C ( j _ <1>dots j _ A) $ is the number of elements of the cyclic class $ < 1 ^ > dots m ^ > > $( cf. Symmetric group) of $ A $. This theorem is based on Burnside's lemma: The number of equivalence classes $ N ( A) $ defined on the set $ X $ by the permutation group $ A $ is given by the formula

where $ j _ <1>( alpha ) $ is the number of unit cycles of $ alpha in A $. Pólya's theory has applications in the solution of enumeration problems in graph theory and in the enumeration of carbon chemical compounds. There is a generalization of Pólya's theory to the case when the equivalence of two configurations is defined by two groups $ G $ and $ H $ acting on $ X $ and $ Y $, respectively (see [4] and [10]). In this form it is applied, for example, in the determination of the number of non-isomorphic abstract automata.

If $ X = < 1 dots m >$, $ Y = < a _ <1>dots a _ > $ and $ sigma : X ightarrow Y $, where $ a _ $ is used as an image $ alpha _ $ times, then the expression

$ [ sigma ] = [ a _ <1>^ > dots a _ ^ > ] , alpha _ <1>+ dots + alpha _ = m, $

is called the first specification of $ sigma $. If the numbers $ alpha _ <1>dots alpha _ $ contain $ eta _ <0>$ zeros, $ eta _ <1>$ ones, etc., then the expression

$ eta _ <1>+ 2 eta _ <2>+ dots + m eta _ = m, $

is called the second specification. Under some specification of the groups $ G $ and $ H $ defining the equivalence of configurations $ sigma : X ightarrow Y $, it is possible to give a method of constructing generating functions for the enumeration of the inequivalent configurations. This method, called the general combinatorial scheme, can be subdivided into four particular cases, according as the groups $ G $ and $ H $ take values in the identity group $ E $ or the symmetric groups $ S _ $ of corresponding orders. These particular cases are the models for the majority of the known combinatorial schemes (see [9], [10]).

1) The commutative non-symmetric case: $ G = S _ $, $ H = E $. This models combination schemes of distributing identical objects into different cells, etc. The generating function for the enumeration of inequivalent configurations $ sigma $ such that

$ alpha _ in Lambda _ subseteq mathbf N _ <0>= < 0, 1 , . . . >, Lambda = ( Lambda _ <1>dots Lambda _ ), $

$ Phi ( t x _ <1>dots x _ Lambda ) = prod _ ^ < n > sum _ in Lambda _ > ( tx _ ) ^ > . $

2) The non-commutative non-symmetric case: $ G = E $, $ H = E $. This models allocation schemes of distributing distinct objects into different cells, etc. The generating function for the enumeration of inequivalent configurations $ sigma $ such that

$ [ sigma ] = [ a _ <1>^ > dots a _ ^ > ] , alpha _ in Lambda _ , Lambda = ( Lambda _ <1>dots Lambda _ ), $

$ widetilde Phi ( t x _ <1>dots x _ Lambda ) = prod _ ^ < n > sum _ in Lambda _ > frac > > ! > x _ ^ > . $

3) The commutative symmetric case: $ G = S _ $, $ H = S _ $. This models schemes of distributing identical objects into identical cells, the enumeration of the partitions of natural numbers, etc. The enumeration of configurations $ sigma $ such that

$ [[ sigma ]] = [ [ 0 ^ <eta _ <0>> dots m ^ <eta _ > ] ] , eta _ in Lambda _ , Lambda = ( Lambda _ <1>, Lambda _ <2>, . . . ), $

is based on the use of generating functions of the form:

$ Psi ( t x _ <1>, . . . Lambda ) = prod _ ^ infty sum _ <eta _ in Lambda _ > ( x _ t ^ ) ^ <eta _ > . $

4) The non-commutative symmetric case: $ G = E $, $ H = S _ $. This models schemes of partitioning finite sets into blocks, distributing distinct objects into identical cells, etc. The enumeration of configurations $ sigma $ such that

$ [[ sigma ]] = [ [ 0 ^ <eta _ <0>> dots m ^ <eta _ > ] ] , eta _ in Lambda _ , Lambda = ( Lambda _ <1>, Lambda _ <2>, . . . ), $

is based on the use of generating functions of the form:

$ widetilde Psi ( t x _ <1>, . . . Lambda ) = prod _ ^ infty sum _ <eta _ in Lambda _ > left ( frac t ^ > ight ) ^ <eta _ > < frac<1> <eta _ ! > > . $

An important place in combinatorial analysis is taken up by asymptotic methods. They are applied both for the simplification of complex finite expressions for large values of the parameters entering into them, as well as for obtaining approximate formulas in roundabout ways when the exact formulas are unknown. It is sometimes convenient to formulate a combinatorial problem of an enumerative character as a problem of finding the characteristics of the distribution of some random process. Such an interpretation makes it possible to apply the well-developed apparatus of probability theory for finding asymptotics or limit theorems. Classical schemes of random allocations of objects in cells are open to a detailed investigation from these points of view so also are random partitions of sets, the cyclic structure of random permutations, as well as various classes of random graphs, including graphs of mappings (see [8], [9], [11]).

The probabilistic approach is applied in the study of the combinatorial properties of symmetric groups and semi-groups. The limiting distribution of the order of a random element of the symmetric group $ S _ $ as $ n ightarrow infty $ has been investigated, as also have the asymptotics of the probability of the generation of random elements of them. For certain classes of random non-negative matrices, the distributions have been studied of the number of zero rows in a matrix and in permanents, and estimates have been given of the probability of the primitiveness of such matrices. For the proof of the existence of combinatorial configurations without constructing them, one sometimes employs a certain specific probabilistic device. The essence of this device consists in the proof of the existence of the configuration (without constructing it) by means of an estimate of the probability of some event (see [7]).

مراجع

[1] J. Riordan, "An introduction to combinational analysis" , Wiley (1958)
[2] H.J. Ryser, "Combinatorial mathematics" , Carus Math. Monogr. , 14 , Math. مساعد. عامر. (1963)
[3] M. Hall, "Combinatorial theory" , Blaisdell (1967)
[4] E.F. Beckenbach (ed.) , Applied combinatorial mathematics , Wiley (1964)
[5] F. Harary, "Graph theory" , Addison-Wesley (1969) pp. Chapt. 9
[6] F Harary, E. Palmer, "Graphical enumeration" , Acad. Press (1973)
[7] P. Erdös, J. Spencer, "Probabilistic methods in combinatorics" , Acad. Press (1974)
[8] ف. Kolchin, V.P. Chistyakov, "Combinatorial problems of probability theory" Itogi Nauk. i Tekhn. تيور. Veroyatnost. حصيرة. ستات. Teoret. Kibernet. , 11 (1974) pp. 5–45 (In Russian)
[9] في. Sachkov, , Questions of cybernetics. بروك. Seminar on Combinatorial Mathematics , Moscow (1973) pp. 146–164 (In Russian)
[10] في. Sachkov, "Combinatorial methods in discrete mathematics" , Moscow (1977) (In Russian)
[11] في. Sachkov, "Probabilistic methods in combinatorial analysis" , Moscow (1978) (In Russian)
[12] H. Minc, "Permanents" , Addison-Wesley (1978)
[13] ج. [G.P. Egorichev] Egorychev, "The solution of van der Waerden's problem for permanents" حال. في الرياضيات. , 42 : 3 (1981) pp. 299–305

تعليقات

The marriage problem is the following. Let there be a set $ < g _ <1>dots g _ > $ of $ n $ girls and a set $ < b _ <1>dots b _ > $ of $ m $ boys. Each girl $ g _ $ likes a subset $ B _ subset < b _ <1>dots b _ > $ of boys. When is it possible that each girl marries a boy she likes? The solution is of course given by the P. Hall theorem on distinct representatives, and this theorem is also known as the marriage theorem or the P. Hall marriage theorem. The abbreviation SDR is often used for systems of distinct representatives. Let $ G $ be the bipartite graph (cf. Graph, bipartite) consisting of the vertices $ < g _ <1>dots g _ , b _ <1>dots b _ > $ and with an edge joining $ g _ $ and $ b _ $ if and only if girl $ i $ likes boy $ j $( and no other edges). Then a solution of the marriage problem provides a matching, and in this context the marriage theorem is also known as the P. Hall matching theorem.


As is the case with all of mathematics, the only way to learn it well is to do as many problems as possible. So, homework problems will be a very important part of the course, and there will be homework assigned every week (other than the week of the midterm). Completion of all homework problems is required, and your grade on a homework assignment will be based on completeness, as well as on the details of the solutions of the problems graded. In particular, I will not necessarily grade every homework problem assigned, but part of your score for an assignment will be for the completion of all problems. Individual homework assignment should be completed by the student alone, although I am always open for questions, either in office hours or by email.

For each homework problem assigned, a complete solution with each step explained should be written up clearly and neatly. Be sure to completely explain your steps and reasoning for calculations as well as for proofs. This is especially important in enumerative problems, as there can be many ways to arrive at the same answer, and what I am interested in is your thought process.

Homework is due at the beginning of class on the due date of the assignment. Late homework will be marked off 20% for every day late. Homework turned in after class on the due date is considered one day late, and the next weekday after that 2 days late, and so on. Everything is easier, of course, if you turn in the homework on time!

إسناد قيمة مشاكل Due Date
1 5.1 #18, 24, 5.2 #46, 67, 5.3 #14, 19, 5.4 #14, 32 Mon, Jan 30
2 5.5 #14(d,e,f,g), 21, 26, 32, 8.1 #20, 27, 8.2 #10, 25 Mon, Feb 6
3 8.2: Finish the proof of Theorem 2, by proving the formula for نم * , and #37,
1.1 #16, 18, 22, 1.2 #6, 11, 14
Mon, Feb 13
4 1.3 #9, 14, 15, 1.4 #8, 9, 12, 14, 20 Mon, Feb 20
5 2.1 #8, 12(a,c), 13, 14, 2.2 #4(b,h), 6, 16 Mon, Feb 27
6 2.3 #1(d,f), 2.4 #1, 2, 8(a,b), 11(a,b,c) Wed, Mar 14
7 6.1 #14, 22, 6.2 #18, 31, 6.3 #2, 15, 18, 20 Fri, Apr 6
8 6.3 #21, 6.4 #2, 12, 20, 6.5 #1(c,d,e), #2(c,d,e) Mon, Apr 16
9 7.3 #3(b,c,d), 5, 7, 7.4 #6, 9(b,c,d), 7.5 #1(b,c), #2(for #1b,c) Mon, Apr 23


محتويات

Knapsack problems appear in real-world decision-making processes in a wide variety of fields, such as finding the least wasteful way to cut raw materials, [3] selection of investments and portfolios, [4] selection of assets for asset-backed securitization, [5] and generating keys for the Merkle–Hellman [6] and other knapsack cryptosystems.

One early application of knapsack algorithms was in the construction and scoring of tests in which the test-takers have a choice as to which questions they answer. For small examples, it is a fairly simple process to provide the test-takers with such a choice. For example, if an exam contains 12 questions each worth 10 points, the test-taker need only answer 10 questions to achieve a maximum possible score of 100 points. However, on tests with a heterogeneous distribution of point values, it is more difficult to provide choices. Feuerman and Weiss proposed a system in which students are given a heterogeneous test with a total of 125 possible points. The students are asked to answer all of the questions to the best of their abilities. Of the possible subsets of problems whose total point values add up to 100, a knapsack algorithm would determine which subset gives each student the highest possible score. [7]

A 1999 study of the Stony Brook University Algorithm Repository showed that, out of 75 algorithmic problems, the knapsack problem was the 19th most popular and the third most needed after suffix trees and the bin packing problem. [8]

ال bounded knapsack problem (BKP) removes the restriction that there is only one of each item, but restricts the number x i > of copies of each kind of item to a maximum non-negative integer value c :

ال unbounded knapsack problem (UKP) places no upper bound on the number of copies of each kind of item and can be formulated as above except for that the only restriction on x i > is that it is a non-negative integer.

One example of the unbounded knapsack problem is given using the figure shown at the beginning of this article and the text "if any number of each box is available" in the caption of that figure.

The knapsack problem is interesting from the perspective of computer science for many reasons:

  • The decision problem form of the knapsack problem (Can a value of at least الخامس be achieved without exceeding the weight دبليو?) is NP-complete, thus there is no known algorithm both correct and fast (polynomial-time) in all cases.
  • While the decision problem is NP-complete, the optimization problem is not, its resolution is at least as difficult as the decision problem, and there is no known polynomial algorithm which can tell, given a solution, whether it is optimal (which would mean that there is no solution with a larger الخامس, thus solving the NP-complete decision problem).
  • There is a pseudo-polynomial time algorithm using dynamic programming.
  • There is a fully polynomial-time approximation scheme, which uses the pseudo-polynomial time algorithm as a subroutine, described below.
  • Many cases that arise in practice, and "random instances" from some distributions, can nonetheless be solved exactly.

There is a link between the "decision" and "optimization" problems in that if there exists a polynomial algorithm that solves the "decision" problem, then one can find the maximum value for the optimization problem in polynomial time by applying this algorithm iteratively while increasing the value of k. On the other hand, if an algorithm finds the optimal value of the optimization problem in polynomial time, then the decision problem can be solved in polynomial time by comparing the value of the solution output by this algorithm with the value of k. Thus, both versions of the problem are of similar difficulty.

One theme in research literature is to identify what the "hard" instances of the knapsack problem look like, [9] [10] or viewed another way, to identify what properties of instances in practice might make them more amenable than their worst-case NP-complete behaviour suggests. [11] The goal in finding these "hard" instances is for their use in public key cryptography systems, such as the Merkle-Hellman knapsack cryptosystem.

Furthermore, notable is the fact that the hardness of the knapsack problem depends on the form of the input. If the weights and profits are given as integers, it is weakly NP-complete, while it is strongly NP-complete if the weights and profits are given as rational numbers. [12] However, in the case of rational weights and profits it still admits a fully polynomial-time approximation scheme.

Several algorithms are available to solve knapsack problems, based on the dynamic programming approach, [13] the branch and bound approach [14] or hybridizations of both approaches. [11] [15] [16] [17]

Dynamic programming in-advance algorithm Edit

ال unbounded knapsack problem (UKP) places no restriction on the number of copies of each kind of item. Besides, here we assume that x i > 0 >0>


تاريخ

Certain types of combinatorial problems have attracted the attention of mathematicians since early times. Magic squares, for example, which are square arrays of numbers with the property that the rows, columns, and diagonals add up to the same number, occur in the I Ching, a Chinese book dating back to the 12th century bc . The binomial coefficients, or integer coefficients in the expansion of (أ + ب) ن , were known to the 12th-century Indian mathematician Bhāskara, who in his Līlāvatī (“The Graceful”), dedicated to a beautiful woman, gave the rules for calculating them together with illustrative examples. “Pascal’s triangle,” a triangular array of binomial coefficients, had been taught by the 13th-century Persian philosopher Naṣīr ad-Dīn aḷ-Ṭūsī.

In the West, combinatorics may be considered to begin in the 17th century with Blaise Pascal and Pierre de Fermat, both of France, who discovered many classical combinatorial results in connection with the development of the theory of probability. The term combinatorial was first used in the modern mathematical sense by the German philosopher and mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz in his Dissertatio de Arte Combinatoria (“Dissertation Concerning the Combinational Arts”). He foresaw the applications of this new discipline to the whole range of the sciences. The Swiss mathematician Leonhard Euler was finally responsible for the development of a school of authentic combinatorial mathematics beginning in the 18th century. He became the father of graph theory when he settled the Königsberg bridge problem, and his famous conjecture on Latin squares was not resolved until 1959.

In England, Arthur Cayley, near the end of the 19th century, made important contributions to enumerative graph theory, and James Joseph Sylvester discovered many combinatorial results. The British mathematician George Boole at about the same time used combinatorial methods in connection with the development of symbolic logic, and the combinatorial ideas and methods of Henri Poincaré, which developed in the early part of the 20th century in connection with the problem of ن bodies, have led to the discipline of topology, which occupies the centre of the stage of mathematics. Many combinatorial problems were posed during the 19th century as purely recreational problems and are identified by such names as “the problem of eight queens” and “the Kirkman school girl problem.” On the other hand, the study of triple systems begun by Thomas P. Kirkman in 1847 and pursued by Jakob Steiner, a Swiss-born German mathematician, in the 1850s was the beginning of the theory of design. Among the earliest books devoted exclusively to combinatorics are the German mathematician Eugen Netto’s Lehrbuch der Combinatorik (1901 “Textbook of Combinatorics”) and the British mathematician Percy Alexander MacMahon’s Combinatory Analysis (1915–16), which provide a view of combinatorial theory as it existed before 1920.


محتويات

Basic combinatorial concepts and enumerative results appeared throughout the ancient world. In the 6th century BCE, ancient Indian physician Sushruta asserts in Sushruta Samhita that 63 combinations can be made out of 6 different tastes, taken one at a time, two at a time, etc., thus computing all 2 6 − 1 possibilities. Greek historian Plutarch discusses an argument between Chrysippus (3rd century BCE) and Hipparchus (2nd century BCE) of a rather delicate enumerative problem, which was later shown to be related to Schröder–Hipparchus numbers. [7] [8] [9] Earlier, in the Ostomachion, Archimedes (3rd century BCE) may have considered the number of configurations of a tiling puzzle, [10] while combinatorial interests possibly were present in lost works by Apollonius. [11] [12]

In the Middle Ages, combinatorics continued to be studied, largely outside of the European civilization. The Indian mathematician Mahāvīra (c. 850) provided formulae for the number of permutations and combinations, [13] [14] and these formulas may have been familiar to Indian mathematicians as early as the 6th century CE. [15] The philosopher and astronomer Rabbi Abraham ibn Ezra (c. 1140) established the symmetry of binomial coefficients, while a closed formula was obtained later by the talmudist and mathematician Levi ben Gerson (better known as Gersonides), in 1321. [16] The arithmetical triangle—a graphical diagram showing relationships among the binomial coefficients—was presented by mathematicians in treatises dating as far back as the 10th century, and would eventually become known as Pascal's triangle. Later, in Medieval England, campanology provided examples of what is now known as Hamiltonian cycles in certain Cayley graphs on permutations. [17] [18]

During the Renaissance, together with the rest of mathematics and the sciences, combinatorics enjoyed a rebirth. Works of Pascal, Newton, Jacob Bernoulli and Euler became foundational in the emerging field. In modern times, the works of J.J. Sylvester (late 19th century) and Percy MacMahon (early 20th century) helped lay the foundation for enumerative and algebraic combinatorics. Graph theory also enjoyed an explosion of interest at the same time, especially in connection with the four color problem.

In the second half of the 20th century, combinatorics enjoyed a rapid growth, which led to establishment of dozens of new journals and conferences in the subject. [19] In part, the growth was spurred by new connections and applications to other fields, ranging from algebra to probability, from functional analysis to number theory, etc. These connections shed the boundaries between combinatorics and parts of mathematics and theoretical computer science, but at the same time led to a partial fragmentation of the field.

Enumerative combinatorics Edit

Enumerative combinatorics is the most classical area of combinatorics and concentrates on counting the number of certain combinatorial objects. Although counting the number of elements in a set is a rather broad mathematical problem, many of the problems that arise in applications have a relatively simple combinatorial description. Fibonacci numbers is the basic example of a problem in enumerative combinatorics. The twelvefold way provides a unified framework for counting permutations, combinations and partitions.

Analytic combinatorics Edit

Analytic combinatorics concerns the enumeration of combinatorial structures using tools from complex analysis and probability theory. In contrast with enumerative combinatorics, which uses explicit combinatorial formulae and generating functions to describe the results, analytic combinatorics aims at obtaining asymptotic formulae.

Partition theory Edit

Partition theory studies various enumeration and asymptotic problems related to integer partitions, and is closely related to q-series, special functions and orthogonal polynomials. Originally a part of number theory and analysis, it is now considered a part of combinatorics or an independent field. It incorporates the bijective approach and various tools in analysis and analytic number theory and has connections with statistical mechanics.

Graph theory Edit

Graphs are fundamental objects in combinatorics. Considerations of graph theory range from enumeration (e.g., the number of graphs on ن vertices with ك edges) to existing structures (e.g., Hamiltonian cycles) to algebraic representations (e.g., given a graph جي and two numbers x و ذ, does the Tutte polynomial تيجي(x,ذ) have a combinatorial interpretation?). Although there are very strong connections between graph theory and combinatorics, they are sometimes thought of as separate subjects. [20] While combinatorial methods apply to many graph theory problems, the two disciplines are generally used to seek solutions to different types of problems.

Design theory Edit

Design theory is a study of combinatorial designs, which are collections of subsets with certain intersection properties. Block designs are combinatorial designs of a special type. This area is one of the oldest parts of combinatorics, such as in Kirkman's schoolgirl problem proposed in 1850. The solution of the problem is a special case of a Steiner system, which systems play an important role in the classification of finite simple groups. The area has further connections to coding theory and geometric combinatorics.

Finite geometry Edit

Finite geometry is the study of geometric systems having only a finite number of points. Structures analogous to those found in continuous geometries (Euclidean plane, real projective space, etc.) but defined combinatorially are the main items studied. This area provides a rich source of examples for design theory. It should not be confused with discrete geometry (combinatorial geometry).

Order theory Edit

Order theory is the study of partially ordered sets, both finite and infinite. Various examples of partial orders appear in algebra, geometry, number theory and throughout combinatorics and graph theory. Notable classes and examples of partial orders include lattices and Boolean algebras.

Matroid theory Edit

Matroid theory abstracts part of geometry. It studies the properties of sets (usually, finite sets) of vectors in a vector space that do not depend on the particular coefficients in a linear dependence relation. Not only the structure but also enumerative properties belong to matroid theory. Matroid theory was introduced by Hassler Whitney and studied as a part of order theory. It is now an independent field of study with a number of connections with other parts of combinatorics.

Extremal combinatorics Edit

Extremal combinatorics studies extremal questions on set systems. The types of questions addressed in this case are about the largest possible graph which satisfies certain properties. For example, the largest triangle-free graph on 2 ن vertices is a complete bipartite graph كn,n. Often it is too hard even to find the extremal answer F(ن) exactly and one can only give an asymptotic estimate.

Ramsey theory is another part of extremal combinatorics. It states that any sufficiently large configuration will contain some sort of order. It is an advanced generalization of the pigeonhole principle.

Probabilistic combinatorics Edit

In probabilistic combinatorics, the questions are of the following type: what is the probability of a certain property for a random discrete object, such as a random graph? For instance, what is the average number of triangles in a random graph? Probabilistic methods are also used to determine the existence of combinatorial objects with certain prescribed properties (for which explicit examples might be difficult to find), simply by observing that the probability of randomly selecting an object with those properties is greater than 0. This approach (often referred to as ال probabilistic method) proved highly effective in applications to extremal combinatorics and graph theory. A closely related area is the study of finite Markov chains, especially on combinatorial objects. Here again probabilistic tools are used to estimate the mixing time.

Often associated with Paul Erdős, who did the pioneering work on the subject, probabilistic combinatorics was traditionally viewed as a set of tools to study problems in other parts of combinatorics. However, with the growth of applications to analyze algorithms in computer science, as well as classical probability, additive number theory, and probabilistic number theory, the area recently grew to become an independent field of combinatorics.

Algebraic combinatorics Edit

Algebraic combinatorics is an area of mathematics that employs methods of abstract algebra, notably group theory and representation theory, in various combinatorial contexts and, conversely, applies combinatorial techniques to problems in algebra. Algebraic combinatorics is continuously expanding its scope, in both topics and techniques, and can be seen as the area of mathematics where the interaction of combinatorial and algebraic methods is particularly strong and significant.

Combinatorics on words Edit

Combinatorics on words deals with formal languages. It arose independently within several branches of mathematics, including number theory, group theory and probability. It has applications to enumerative combinatorics, fractal analysis, theoretical computer science, automata theory, and linguistics. While many applications are new, the classical Chomsky–Schützenberger hierarchy of classes of formal grammars is perhaps the best-known result in the field.

Geometric combinatorics Edit

Geometric combinatorics is related to convex and discrete geometry, in particular polyhedral combinatorics. It asks, for example, how many faces of each dimension a convex polytope can have. Metric properties of polytopes play an important role as well, e.g. the Cauchy theorem on the rigidity of convex polytopes. Special polytopes are also considered, such as permutohedra, associahedra and Birkhoff polytopes. Combinatorial geometry is an old fashioned name for discrete geometry.

Topological combinatorics Edit

Combinatorial analogs of concepts and methods in topology are used to study graph coloring, fair division, partitions, partially ordered sets, decision trees, necklace problems and discrete Morse theory. It should not be confused with combinatorial topology which is an older name for algebraic topology.

Arithmetic combinatorics Edit

Arithmetic combinatorics arose out of the interplay between number theory, combinatorics, ergodic theory, and harmonic analysis. It is about combinatorial estimates associated with arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division). Additive number theory (sometimes also called additive combinatorics) refers to the special case when only the operations of addition and subtraction are involved. One important technique in arithmetic combinatorics is the ergodic theory of dynamical systems.

Infinitary combinatorics Edit

Infinitary combinatorics, or combinatorial set theory, is an extension of ideas in combinatorics to infinite sets. It is a part of set theory, an area of mathematical logic, but uses tools and ideas from both set theory and extremal combinatorics.

Gian-Carlo Rota used the name continuous combinatorics [21] to describe geometric probability, since there are many analogies between counting و يقيس.

Combinatorial optimization Edit

Combinatorial optimization is the study of optimization on discrete and combinatorial objects. It started as a part of combinatorics and graph theory, but is now viewed as a branch of applied mathematics and computer science, related to operations research, algorithm theory and computational complexity theory.

Coding theory Edit

Coding theory started as a part of design theory with early combinatorial constructions of error-correcting codes. The main idea of the subject is to design efficient and reliable methods of data transmission. It is now a large field of study, part of information theory.

Discrete and computational geometry Edit

Discrete geometry (also called combinatorial geometry) also began as a part of combinatorics, with early results on convex polytopes and kissing numbers. With the emergence of applications of discrete geometry to computational geometry, these two fields partially merged and became a separate field of study. لا يزال هناك العديد من الروابط مع التوافقيات الهندسية والطوبولوجية ، والتي يمكن اعتبارها نفسها نتاجًا للهندسة المنفصلة المبكرة.

التوافقية والأنظمة الديناميكية تحرير

تعد الجوانب الاندماجية للأنظمة الديناميكية مجالًا ناشئًا آخر. هنا يمكن تعريف الأنظمة الديناميكية على الكائنات الاندماجية انظر على سبيل المثال نظام الرسم البياني الديناميكي.

التوافقية والفيزياء تحرير

هناك تفاعلات متزايدة بين التوافقية والفيزياء ، وخاصة الفيزياء الإحصائية. تتضمن الأمثلة حلاً دقيقًا لنموذج Ising ، ووصلة بين نموذج Potts من ناحية ، ومتعدد الحدود اللوني ومتعدد الحدود Tutte من ناحية أخرى.


شاهد الفيديو: الثالث الثانوي - رياضيات- التحليل التوافقي مسائل السحب 1 (ديسمبر 2021).