مقالات

5.12: الكسور المركبة - الرياضيات


5.12: الكسور المركبة - الرياضيات

الكيفية: تبسيط الكسور المعقدة في الرياضيات

يوضح المدرب في هذا البرنامج التعليمي كيفية تبسيط الكسور المعقدة. الكسر المركب هو نفس الكسر العادي ، لكن به مشكلة كسر في البسط ومسألة كسر في المقام. أول شيء يجب فعله هو الوصول إلى كسر بسيط في كل من البسط والمقام. للقيام بذلك ، خذ lcm مقامات الكسور في البسط وقم بتبسيطها. وبالمثل ، افعل ذلك في المقام. أصبح لكل من البسط والمقام كسر بسيط. الكسر ما هو إلا قسمة للبسط على المقام ، لذا حول هذا القسمة إلى عملية ضرب بضرب البسط في معكوس المقام وتبسيطه للحصول على النتيجة. يوضح هذا الفيديو كيفية تبسيط الكسور المعقدة.

هل تريد إتقان برنامج Microsoft Excel ونقل آفاق العمل من المنزل إلى المستوى التالي؟ ابدأ حياتك المهنية من خلال حزمة التدريب Premium A-to-Z Microsoft Excel من متجر Gadget Hacks الجديد واحصل على وصول مدى الحياة إلى أكثر من 40 ساعة من التعليمات الأساسية إلى المتقدمة حول الوظائف والصيغة والأدوات والمزيد.


ما هو الكسر المكافئ؟ كيف تعرف ما إذا كان كسرين متساويين؟

يمكن العثور على الكسور المتكافئة بسهولة إذا استخدمت هذه القاعدة:

تعريف الكسور المتكافئة: كسرين ab و cd متساويان فقط إذا كان حاصل ضرب (الضرب) للبسط (أ) للكسر الأول والمقام (د) للكسر الآخر يساوي حاصل ضرب المقام (ب) للكسر الأول و بسط الكسر الآخر (ج).

بمعنى آخر ، إذا قمت بإجراء الضرب التبادلي (أ ب وج د) فستظل المساواة ، أي أ. د = ب ج. إذن ، إليك بعض الأمثلة:

  • 10 24 يساوي 5 12 لأن 10 × 12 = 24 × 5 = 120
  • 15 36 يساوي 5 12 لأن 15 × 12 = 36 × 5 = 180
  • 20 48 يساوي 5 12 لأن 20 × 12 = 48 × 5 = 240

تبسيط الكسور

لإظهار هذا بطريقة رياضية أكثر ، للانتقال من ( displaystyle frac <2> <6> ) إلى ( displaystyle frac <1> <3> ) ، نلاحظ أن ( displaystyle need فارك <2> <6> = فارك << 1 مرات إلغاء <2> >> << 3 ، مرات إلغاء <2> >> ) ، ويمكننا شطب 2 في الأعلى و 2 في الأسفل (لأنهم يقسمون على قدم المساواة 1 ) للحصول على ( displaystyle frac <1> <3> ). للانتقال من ( displaystyle frac <4> <6> ) إلى ( displaystyle frac <2> <3> ) ، نلاحظ أن ( displaystyle need فارك <4> <6> = فارك << 2 ، مرات إلغاء <2> >> << 3 ، مرات إلغاء <2> >> ) ، ويمكننا شطب 2 في الأعلى و 2 في الأسفل (لأنهم يقسمون على قدم المساواة 1 ) للحصول على ( displaystyle frac <2> <3> ). لا يمكننا القيام بهذا الشطب إلا إذا كنا نضرب الأرقام في الأعلى والأسفل - لا نجمعها.

في الواقع ، أكبر رقم يمكننا شطبه في أعلى الكسر وأسفله لتقليله هو العامل المشترك الاكبر (GCF) ، والذي تعلمناه في قسم "الضرب والقسمة". يمكننا أيضًا شطب هذه الأرقام على مراحل على سبيل المثال ، يمكننا أولًا شطبها 2 في الأعلى والأسفل ، ثم 3 ، إذا كان هذا عاملاً آخر يدخل في كلا الأمرين ، وهكذا. تسمى عملية تبسيط الكسور هذه "اختزال الكسور" أو "تبسيط الكسور”.

الآن إذا كان لدينا 6 فتيات في الحفلة وكل واحدة لديها قطعة بيتزا واحدة بالضبط ، كيف نكتب الجزء الذي يمثل كل البيتزا التي تم تناولها (بما في ذلك القطع التي أكلها الأخ الصغير الشرير جيك)؟

لنفترض أن الفتيات اللائي بدأن في تناول البيتزا دون أن تكون قطع جيك عليها كان لهن قطعة واحدة ، لذلك أكلن بيتزا واحدة كاملة ( ( displaystyle frac <6> <6> ) ذهب). وما زلنا نملك البيتزا التي بدأها جيك ( ( displaystyle frac <2> <6> ) أو ( displaystyle frac <1> <3> ) ذهب). إليك ما تبدو عليه البيتزا:

ما هي الكمية المتبقية من البيتزا (فطائران)؟ نكتشف ذلك عن طريق إضافة الكسرين: ( displaystyle frac <6> <6> + frac <2> <6> = frac << 6 text <> + text <> 2 >> < 6> = frac <8> <6> ) ، وهو ( displaystyle need frac << 4 ، times cancell <2> >> << 3 times cancell <2> >> ) ، وهو ( displaystyle frac <4> <3> ). تذكر مرة أخرى أننا أضفنا الأرقام في الأعلى (البسط) واحتفظنا بالرقم في الأسفل (المقام). الآن يسمى ( displaystyle frac <4> <3> ) جزء غير لائق، نظرًا لأن الجزء العلوي أكبر من القاع (يُطلق عليه أحيانًا جزء "دوللي بارتون" لأسباب واضحة).

لتحويل هذا إلى ما نسميه جزء مختلط (كسر برقم "عادي" واحد وكسر واحد) ، سنلاحظ ذلك 3 يدخل 4 1 الوقت ونحن لدينا 1 المتبقي (وهو جزء كسري من 3 ) ، لذا فإن الكسر هو ( displaystyle 1 frac <1> <3> ):

هناك طريقة أخرى لمعرفة كيفية تحول هذا الكسر غير الصحيح ( displaystyle frac <4> <3> ) إلى الكسر المختلط وهي فصل الكسور كما فعلنا أدناه. سبب انفصالنا 4 إلى 3 و 1 لأن 3 هو أعلى رقم يتم إدخاله 3 ، لذلك يمكننا جعل ( displaystyle frac <3> <3> ) في عدد صحيح.

لدينا ( displaystyle 1 frac <1> <3> ) من البيتزا التي ذهبت ، أو واحد بيتزا ذهب و ثلث بيتزا أخرى ذهب. عندما نجمع أو نطرح كسورًا مختلطة ، فإننا غالبًا ما نفعل ذلك رأسيًا ، وأحيانًا نضطر إلى الاستمرار إذا تبين أن ما يوجد في البسط أكبر من المقام. نعمل من اليمين إلى اليسار ، ونجمع الكسور أولًا. على سبيل المثال ، دعنا نضيف ما يلي. لاحظ أن آخر جزء مختلط تمت إضافته ( ( displaystyle 2 frac <3> <6> )) يمكن اختزاله إلى ( displaystyle 2 frac <1> <2> ) ، لكننا ' سنحتفظ بها كما هي ، حتى نتمكن من إضافة:

كان بإمكاننا أيضًا تحويل هذه الكسور إلى كسور غير فعلية أولاً وإضافة:

لاحظ أنه بعد حصولنا على الإجابة ( displaystyle frac <<26>> <6> ) ، قمنا بفصل 26 أعلاه إلى 24 و 2 ، منذ 6 يدخل 24 بالضبط.

في بعض الأحيان مع الكسور (في الواقع ، في معظم الأحيان!) ، لن يكون لدينا نفس المقام ، لذلك لا يمكنك فقط جمعها أو طرحها. لجمعها أو طرحها ، عليك أن تجد ما نسميه القاسم المشترك الأدنى، وهو أقل مضاعف مشترك (LCM) الذي تحدثنا عنه في قسم الضرب والقسمة. ثم يتعين علينا "بناء" الكسور (أعلى وأسفل) حتى نتمكن من جمع البسطين في الأعلى وإبقاء المقام الواحد في الأسفل.

لنفترض أننا نخبز والوصفة تستدعي ( displaystyle frac <2> <3> ) لكوب من السكر و ( displaystyle frac <3> <4> ) لكوب من الدقيق. نريد معرفة ما إذا كان كوب القياس لدينا ( displaystyle 1 frac <1> <2> ) كبير بما يكفي لاستخدامه مع كلا المكونين. نضيف:

علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات ، 3 و 4 . كما فعلنا من قبل ، وجدنا أصغر رقم يدخل فيه كلاهما:

مضاعفات من 3 : 3, 6, 9, 12 , 15, 18, 21, 24 , 27 . . .

مضاعفات من 4 : 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32 . . .

(في وسعنا أبدا مقام 0 ، لذلك علينا تجاهل هذا المضاعف. تذكر ، إذا كان لديك كسر مقامه 0 ، سوف "تنفجر"!)

القاسم المشترك الأصغر هو 12 . لاحظ في هذه الحالة أنه كان بإمكاننا الحصول على القاسم المشترك الأصغر بضرب العددين ، نظرًا لعدم وجود عوامل مشتركة بينهما - وهذا عادة ما يكون دليلًا على أنه يتعين عليك ضرب الأعداد معًا للحصول على المقام المشترك الأصغر.

الآن علينا "بناء" الكسور بضرب كل منها في 1 (أو نفس الرقم أعلى الكسر وأسفله) للحصول على المقام المشترك:

بما أن ( displaystyle 1 frac <5> <<12>> ، & lt ، ، 1 frac <1> <2> ) وهو ( displaystyle 1 frac <6> < <12>> )) ، يمكننا استخدام كوب القياس الخاص بنا ( displaystyle 1 frac <1> <2> )!

إذا كنت تضيف كسرين ويذهب أحد المقامين إلى الآخر تمامًا (بدون أي باقٍ) ، فإن أكبر واحد هو المقام المشترك الأصغر. في هذا المثال ، القاسم المشترك الأصغر هو 10 :

مثال أكثر تعقيدًا:

لنجد القاسم المشترك الأصغر (لا تنس أن تحاول استخدام شجرة العوامل الأولية في الضرب والقسمة قسم للعثور على المضاعف المشترك الأصغر أو القاسم المشترك الأصغر):

مضاعفات من 12 : 12, 24, 36 , 48 . . .

مضاعفات من 18:18 ، 36 , 54 . . .

36 هو القاسم المشترك الأصغر ، فلنحول كل كسر إلى نفس الكسر بمقامه 36 :


كسر مصري

بالإضافة إلى استخدامها التاريخي ، فإن الكسور المصرية لها بعض المزايا العملية على التمثيلات الأخرى للأعداد الكسرية. على سبيل المثال ، يمكن أن تساعد الكسور المصرية في تقسيم الطعام أو الأشياء الأخرى إلى حصص متساوية. [1] على سبيل المثال ، إذا أراد المرء تقسيم 5 بيتزا بالتساوي على 8 داينرز ، فإن الكسر المصري

يعني أن كل عشاء يحصل على نصف بيتزا بالإضافة إلى ثمن بيتزا آخر ، على سبيل المثال عن طريق تقسيم 4 بيتزا إلى 8 أنصاف والبيتزا المتبقية إلى 8 أثمان.

وبالمثل ، على الرغم من أنه يمكن للمرء تقسيم 13 بيتزا على 12 داينرز من خلال إعطاء كل عشاء بيتزا واحدة وتقسيم البيتزا المتبقية إلى 12 جزءًا (ربما تدميرها) ، يمكن للمرء أن يلاحظ ذلك

وقسموا 6 بيتزا إلى أنصاف ، و 4 إلى أثلاث والباقي 3 إلى أرباع ، ثم أعطوا كل عشاء نصف وثلث وربع.

تحرير التدوين

لكتابة كسور الوحدة المستخدمة في تدوين الكسر المصري ، بالخط الهيروغليفي ، وضع المصريون الكتابة الهيروغليفية

(إيه، "[واحد] بين" أو ربما إعادة، mouth) فوق رقم لتمثيل مقلوب هذا الرقم. وبالمثل في الكتابة الهيراطيقية قاموا برسم خط فوق الحرف الذي يمثل الرقم. فمثلا:

طرق الحساب تحرير

  • للقواسم الأولية الفردية الصغيرة ص، التوسع
  • للقواسم الأولية الأكبر ، توسيع للصيغة
  • بالنسبة إلى القواسم المركبة ، يتم تحليلها إلى عوامل ص × ف ، يمكن للمرء أن يتوسع
  • 2 / ص باستخدام الهوية
  • يمكن للمرء أيضا أن يتوسع
  • 2 / ص كما
  • 1 / العلاقات العامة +
  • 1 / ريال قطري ، أين ص =
  • ص + ف / 2. على سبيل المثال ، يتوسع Ahmes
  • 2 / 35 =
  • 1 / 30 +
  • 1/42 ، أين ص = 5 , ف = 7 و ص =
  • 5 + 7/2 = 6. استخدم الكتبة اللاحقون شكلاً أكثر عمومية لهذا التوسيع ،
  • بالنسبة لبعض القواسم المركبة الأخرى ، فإن التوسيع لـ
  • 2 / ص له شكل توسيع ل
  • 2 / ف مع كل مقام مضروب في ص. على سبيل المثال ، 95 = 5 × 19 ، و
  • 2 / 19 =
  • 1 / 12 +
  • 1 / 76 +
  • 1/114 (كما يمكن إيجاده باستخدام طريقة الأعداد الأولية ذات أ = 12) ، إذن
  • 2 / 95 =
  • 1 / 5 × 12 +
  • 1 / 5 × 76 +
  • 1 / 5 × 114 =
  • 1 / 60 +
  • 1 / 380 +
  • 1/570. [7] يمكن تبسيط هذا التعبير sonce
  • 1 / 380 +
  • 1 / 570 =
  • 1/228 ، لكن بردية Rhind تستخدم الشكل غير المبسط.
  • التوسيع النهائي (الرئيسي) في بردية Rhind ،
  • 2/101 ، لا تتناسب مع أي من هذه الأشكال ، ولكنها تستخدم بدلاً من ذلك توسعة

استمر استخدام تدوين الكسر المصري في العصر اليوناني وفي العصور الوسطى ، [8] على الرغم من الشكاوى في وقت مبكر مثل بطليموس المجسطي حول الخراقة في التدوين مقارنة بالبدائل مثل التدوين البابلي الأساسي 60. نص مهم من الرياضيات في العصور الوسطى ، و ليبر أباسي (1202) ليوناردو بيزا (المعروف أكثر باسم فيبوناتشي) ، يقدم نظرة ثاقبة لاستخدامات الكسور المصرية في العصور الوسطى ، ويقدم موضوعات لا تزال مهمة في الدراسة الرياضية الحديثة لهذه السلسلة.

الموضوع الأساسي لـ ليبر أباسي هي حسابات تتضمن تدوين الكسور العشرية والمبتذلة ، والتي حلت في النهاية محل الكسور المصرية. استخدم فيبوناتشي نفسه تدوينًا معقدًا للكسور التي تتضمن مزيجًا من تدوين الجذر المختلط مع مجموع الكسور. تتضمن العديد من الحسابات في جميع أنحاء كتاب فيبوناتشي أرقامًا ممثلة كسور مصرية ، ويقدم قسم واحد من هذا الكتاب [9] قائمة بالطرق لتحويل الكسور المبتذلة إلى كسور مصرية. إذا لم يكن الرقم كسر وحدة بالفعل ، فإن الطريقة الأولى في هذه القائمة هي محاولة تقسيم البسط إلى مجموع قواسم المقام ، وهذا ممكن عندما يكون المقام رقمًا عمليًا ، و ليبر أباسي يتضمن جداول توسعات من هذا النوع للأرقام العملية 6 و 8 و 12 و 20 و 24 و 60 و 100.

تتضمن الطرق العديدة التالية متطابقات جبرية مثل

حيث تمثل ⌈ ⌉ وظيفة السقف منذ (-ذ) عصري x & lt x ، هذه الطريقة تؤدي إلى توسع محدود.

بالمقارنة مع التوسعات المصرية القديمة أو الأساليب الأكثر حداثة ، قد تنتج هذه الطريقة توسعات طويلة جدًا ، ذات قواسم كبيرة ، وقد لاحظ فيبوناتشي نفسه صعوبة التوسعات التي تنتجها هذه الطريقة. على سبيل المثال ، تتوسع الطريقة الجشعة

بينما تؤدي الطرق الأخرى إلى توسع أقصر

على الرغم من أن الكسور المصرية لم تعد تُستخدم في معظم التطبيقات العملية للرياضيات ، فقد واصل منظرو الأعداد الحديثون دراسة العديد من المشكلات المختلفة المتعلقة بها. تتضمن هذه المشكلات ربط الطول أو الحد الأقصى للمقام في تمثيلات الكسور المصرية ، وإيجاد توسعات لأشكال خاصة معينة أو التي تكون فيها جميع القواسم من نوع خاص ، وإنهاء الطرق المختلفة لتوسيع الكسر المصري ، وإظهار أن التوسعات موجودة لأي مجموعة كثيفة بدرجة كافية من الأرقام السلسة بدرجة كافية.

  • أثبت أحد أقدم منشورات Paul Erdős أنه لا يمكن للتقدم التوافقي تكوين تمثيل كسر مصري لعدد صحيح. والسبب هو بالضرورة أن مقامًا واحدًا على الأقل من التقدم سيكون قابلاً للقسمة على رقم أولي لا يقسم أي مقام آخر. [10] أحدث إصدار من Erdős ، بعد ما يقرب من 20 عامًا من وفاته ، يثبت أن كل عدد صحيح له تمثيل تكون فيه جميع القواسم نتاجًا لثلاثة أعداد أولية. [11]
  • تنص تخمين Erdős – Graham في نظرية الأعداد الاندماجية على أنه إذا تم تقسيم الأعداد الصحيحة الأكبر من 1 إلى مجموعات فرعية عديدة بشكل محدود ، فإن إحدى المجموعات الفرعية لها مجموعة فرعية محدودة من نفسها مجموع معادلاتها واحدة. هذا هو ، لكل ص & gt 0 ، وكل ص- تلوين الأعداد الصحيحة أكبر من واحد ، هناك مجموعة فرعية أحادية اللون محدودة س من هذه الأعداد الصحيحة من هذا القبيل
    وترتبط أرقام الكمال الزائف الأولية ارتباطًا وثيقًا بوجود كسور مصرية من النموذج
  • عادةً ما يتم تعريف الكسور المصرية على أنها تتطلب أن تكون جميع القواسم مميزة ، ولكن يمكن تخفيف هذا المطلب للسماح بتكرار القواسم. ومع ذلك ، فإن هذا الشكل المريح للكسور المصرية لا يسمح بتمثيل أي رقم باستخدام عدد أقل من الكسور ، حيث يمكن تحويل أي توسع مع كسور متكررة إلى كسر مصري بطول متساوٍ أو أصغر من خلال التطبيق المتكرر للبديل
  • أثبت جراهام وجويت [12] أنه من الممكن بالمثل تحويل التوسعات ذات القواسم المتكررة إلى كسور مصرية (أطول) ، عن طريق الاستبدال
  • أي كسر
  • x / ذ له تمثيل كسري مصري حيث يكون المقام الأقصى محددًا بـ [13]
    تتميز الأعداد التي يمكن تمثيلها بالكسور المصرية التي تكون فيها جميع القواسم نالقوى ال. على وجه الخصوص ، رقم منطقي ف يمكن تمثيله على هيئة كسر مصري بمقامه مربعة إذا وفقط إذا ف تقع في أحد فترتي نصف مفتوحة
    أظهر أن أي عدد نسبي له تمديدات كثيفة للغاية ، باستخدام كسر ثابت من المقامات حتى ن لأي حجم كبير بما فيه الكفاية ن. ، تسمى أحيانًا منتج مصري، هو شكل من أشكال توسيع الكسر المصري حيث يكون كل مقام مضاعفًا للسابق:
    دراسة الأرقام التي تحتوي على تمثيلات كسور مصرية متعددة متميزة بنفس عدد المصطلحات ونفس منتج القواسم على سبيل المثال ، أحد الأمثلة التي يقدمونها هو
  • عدد مختلف ن- حدود تمثيلات الكسور المصرية للرقم واحد أعلى وأسفل بدوال أسية مزدوجة ن. [17]

لا تزال بعض المشكلات البارزة دون حل فيما يتعلق بالكسور المصرية ، على الرغم من الجهود الكبيرة التي بذلها علماء الرياضيات.

  • تتعلق حدسية Erdős-Straus [15] بطول أقصر تمدد لجزء من النموذج
  • 4 / ن . هل توسع
  • من غير المعروف ما إذا كان التوسع الجشع الفردي موجودًا لكل كسر بمقام فردي. إذا تم تعديل طريقة طمع فيبوناتشي بحيث تختار دائمًا أصغر طريقة ممكنة غريب المقام ، تحت أي ظروف تنتج هذه الخوارزمية المعدلة توسعًا محدودًا؟ الشرط الضروري الواضح هو أن كسر البداية
  • x / ذ لها مقام فردي ذ، ومن غير المعروف أن هذا أيضًا شرط كافٍ. ومن المعروف [18] أن كل
  • x / ذ مع الغريب ذ لها توسع في كسور فردية مميزة من الوحدات ، تم إنشاؤها باستخدام طريقة مختلفة عن الخوارزمية الجشعة.
  • من الممكن استخدام خوارزميات البحث بالقوة الغاشمة للعثور على تمثيل الكسر المصري لرقم معين بأقل عدد ممكن من المصطلحات [19] أو تقليل المقام الأكبر ، ومع ذلك ، يمكن أن تكون هذه الخوارزميات غير فعالة تمامًا. لا يزال وجود خوارزميات متعددة الحدود لهذه المشكلات ، أو بشكل عام التعقيد الحسابي لمثل هذه المشكلات ، غير معروف.

يصف جاي (2004) هذه المشكلات بمزيد من التفصيل ويسرد العديد من المشكلات المفتوحة الإضافية.

توفر الكسور المصرية حلاً لأحجية مؤقت احتراق الحبل ، حيث يتم قياس مدة معينة بإشعال الحبال غير المنتظمة التي تحترق بعد وقت محدد ، على سبيل المثال ، ساعة واحدة. الوقت المستغرق لحرق الحبل بالكامل يتناسب خطيًا مع عدد جبهات اللهب المحفوظة على الحبل. يمكن تحديد توقيت أي جزء منطقي من ساعة واحدة من خلال إيجاد تمدد الكسر المصري المكافئ وحرق الحبال بالتتابع مع العدد المناسب من واجهات اللهب للكسور. قد يتم تخفيف القيد المعتاد بأن كل جزء مختلف. [20]


احسب قيمة التعبيرات المتغيرة ذات الكسور

لقد قمنا بتقييم المقادير من قبل ، ولكن يمكننا الآن أيضًا تقييم المقادير ذات الكسور. تذكر ، لإيجاد قيمة تعبير ، نعوض بقيمة المتغير في التعبير ثم نبسطه.

مثال

قم بتقييم [latex] x + Large frac <1> <3> [/ latex] عندما

المحلول
1. لتقييم [اللاتكس] x + Large frac <1> <3> [/ latex] عندما [اللاتكس] x = - Large frac <1> <3> [/ latex] ، استبدل [اللاتكس] - كبير فارك <1> <3> [/ لاتكس] لـ [لاتكس] س [/ لاتكس] في التعبير.

[لاتكس] x + كبير فارك <1> <3> [/ لاتكس]
استبدل [اللاتكس] color<-Largefrac<1> <3>> [/ latex] لـ x. [اللاتكس] اللون<-Largefrac<1> <3>> + كبير فارك <1> <3> [/ لاتكس]
تبسيط. [لاتكس] 0 [/ لاتكس]

2. لتقييم [اللاتكس] x + Large frac <1> <3> [/ latex] عندما [اللاتكس] x = - Large frac <3> <4> [/ latex] ، نستبدل [اللاتكس] - كبير فارك <3> <4> [/ لاتكس] لـ [لاتكس] س [/ لاتكس] في التعبير.

[لاتكس] x + كبير فارك <1> <3> [/ لاتكس]
استبدل [اللاتكس] color<-Largefrac<3> <4>> [/ latex] لـ x. [اللاتكس] اللون<-Largefrac<3> <4>> + Large frac <1> <3> [/ latex]
أعد الكتابة ككسور مكافئة باستخدام شاشة LCD ، [لاتكس] 12 [/ لاتكس]. [لاتكس] - كبير فارك <3 cdot 3> <4 cdot 3> + كبير فارك <1 cdot 4> <3 cdot 4> [/ لاتكس]
بسّط البسط والمقام. [لاتكس] - كبير فارك <9> <12> + كبير فارك <4> <12> [/ لاتكس]
يضيف. [لاتكس] - كبير فارك <5> <12> [/ لاتكس]

جربها

مثال

قم بتقييم [اللاتكس] y- Large frac <5> <6> [/ latex] عندما [اللاتكس] y = - Large frac <2> <3> [/ latex]

المحلول:
نستبدل [اللاتكس] - Large frac <2> <3> [/ latex] عن [اللاتكس] y [/ اللاتكس] في التعبير.

[اللاتكس] y- Large frac <5> <6> [/ latex]
استبدل [اللاتكس] color<-Largefrac<2> <3>> [/ لاتكس] لـ y. [اللاتكس] اللون<-Largefrac<2> <3>> - كبير فارك <5> <6> [/ لاتكس]
أعد الكتابة ككسور مكافئة باستخدام شاشة LCD ، [لاتكس] 6 [/ لاتكس]. [لاتكس] - كبير فارك <4> <6> - كبير فارك <5> <6> [/ لاتكس]
طرح او خصم. [لاتكس] - كبير فارك <9> <6> [/ لاتكس]
تبسيط. [لاتكس] - كبير فارك <3> <2> [/ لاتكس]

جربها

مثال

تقييم [اللاتكس] 2^ <2> y [/ latex] عندما [latex] x = Large frac <1> <4> [/ latex] و [latex] y = - Large frac <2> <3> [/ latex]

المحلول:
عوّض القيم في التعبير. في [اللاتكس] 2^ <2> y [/ latex] ، ينطبق الأس فقط على [latex] x [/ latex].

[اللاتكس] 2^ <2> ص [/ لاتكس]
استبدل [اللاتكس] color <4>> [/ latex] لـ x و [latex] color<-Largefrac<2> <3>> [/ لاتكس] لـ y. [اللاتكس] 2 ( color <4>>) ^ <2> ( color<-Largefrac<2> <3>>) [/ لاتكس]
بسّط الأسس أولًا. [لاتكس] 2 ( كبير فارك <1> <16>) (- كبير فارك <2> <3>) [/ لاتكس]
تتضاعف. سيكون المنتج سلبي. [لاتكس] - كبير فارك <2> <1> cdot كبير فارك <1> <16> cdot كبير فارك <2> <3> [/ لاتكس]
تبسيط. [لاتكس] - كبير فارك <4> <48> [/ لاتكس]
تخلص من العوامل المشتركة. [لاتكس] - كبير فارك <1 cdot color<4>> < color <4> cdot 12> [/ لاتكس]
تبسيط. [لاتكس] - كبير فارك <1> <12> [/ لاتكس]

جربها

مثال

قم بتقييم [اللاتكس] Large frac[/ لاتكس] عندما [لاتكس] ع = -4 ، ف = -2 [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ص = 8 [/ لاتكس]

المحلول:
نعوض بالقيم في التعبير ونبسط.


كيفية إيجاد الكسر لـ 5/12 مضروبًا في 10؟

يوضح التمرين أدناه مع الحساب خطوة بخطوة كيفية العثور على الكسر المكافئ لضرب 5/12 في عدد صحيح 10.

مشكلة و تجريب
أوجد كم مرة 5/12 للعدد 10 في صورة كسر؟
الخطوة 1 العنوان معادلة، معلمات الإدخال والقيم.
معلمات الإدخال والقيم:
5/12 & 10/1
5/12 × 10 =؟

الخطوة 2 اضرب كلا البسطين
= 5 × 10
= 50

الخطوة 3 اضرب كلا المقامين
= 12 × 1
= 12

الخطوة 4 استخدم القيم أعلاه للخطوة 2 وأمبير 3 ، وأعد الكتابة على النحو التالي
= 50/12

هكذا، 50/12 هي كسر مكافئ لـ 5/12 مرات للعدد 10 ، والحد المبسط هو 25/6.


الكسور - أسئلة الرياضيات للصف الخامس

يتم تقديم الحلول والتفسيرات لأسئلة الصف الخامس الكسور.


  1. 3 1/2 + 5 1/3 =
    المحلول
    اجمع الأعداد الصحيحة والكسور معًا
    3 1/2 + 5 1/3 = (3 + 5) + (1/2 + 1/3)
    اكتب كسوراً بنفس المقام
    = 8 + (3/6 + 2/6) = 8 5/6

  2. يستغرق الأمر من جوليا نصف ساعة لغسل وتمشيط شعرها وارتداء ملابسها ، وربع ساعة لتناول الإفطار. كم من الوقت تستغرق جوليا لتكون جاهزة للمدرسة؟
    المحلول
    الوقت الإجمالي الذي تستغرقه جوليا لتكون جاهزة للمدرسة هو
    1/2 + 1/4
    اكتب كسوراً بنفس المقام
    = 2/4 + 1/4 = 3/4 ساعة.

  3. أي كسرين متساويين؟
    1. 5/2 و 2/5
    2. 4/3 و 8/6
    3. 1/4 و 2/4
    4. 2/3 و 1/3

    .
    المحلول
    يوجد عنصرين مظللين بالكامل أعلاه والآخر مظلل عند 3/4. ومن هنا العدد الكسري
    2 3/4 يمثل الأجزاء المظللة.

    .
    المحلول
    1 7/10 في الصورة العشرية هي
    1 7/10 = 1 + 7/10 = 1 + 0.7 = 1.7 ويتوافق مع النقطة W.


    مرحبًا بك في صفحة دروس QuickMath الرئيسية.

    المعادلات الخطية هي أسهل المعادلات لحلها. لا تجرب أي معادلات أخرى قبل أن تتقن هذه المعادلات من خلال برامجنا التعليمية وحلول المعادلات الخطية التفاعلية.

    وظائف الرسوم البيانية هي معادلات بيانية متشابهة جدًا. ستتعلم هنا تدوينًا وظيفيًا مناسبًا بالإضافة إلى وظائف الرسوم البيانية الأكثر تعقيدًا من تلك الموجودة في دروس معادلات الرسوم البيانية.

    هل القيم المطلقة غير مفهومة على الإطلاق؟ ألق نظرة سريعة على برامجنا التعليمية خطوة بخطوة مع حلول تفاعلية لمشكلات القيمة المطلقة.

    جذور الرياضيات أسوأ من قنوات الجذور؟ ليس مع برامجنا التعليمية والحلول التفاعلية. سوف تتعلم كيفية جمع الجذور وطرحها وضربها وقسمتها بالإضافة إلى ترشيد القواسم.

    هل أنت غير متأكد من قواعد الأس وعمليات كثيرة الحدود والموضوعات المماثلة؟ ستعلمك هذه البرامج التعليمية القواعد والعمليات الأساسية ، وستقوم أدوات حل كثير الحدود لدينا بإنشاء العديد من الحلول خطوة بخطوة لمجموعة متنوعة من المشكلات

    المعادلات التربيعية أصعب قليلاً من المعادلات الخطية. إذا لم تكن متأكدًا من المعادلات الخطية ، فانتقل إلى دروس المعادلات الخطية أولاً. إذا كنت تعتقد أنه يمكنك التعامل معها ، فاستخدم دروس المعادلات التربيعية والمحللين التفاعليين للتعرف على الصيغة التربيعية والطرق الأخرى لحل المعادلات من الدرجة الثانية.

    هل الأعداد المركبة معقدة للغاية بحيث لا يمكن تعلمها؟ لا ، فهي ليست كذلك إذا كنت تستخدم أدوات حل الأرقام المعقدة والبرامج التعليمية التفاعلية. ستتعرف على سبب حاجتنا إليهم ، وما هي الوحدة التخيلية ، والكثير من الأشياء الأخرى المثيرة للاهتمام.

    هل لديك مشاكل مع العوملة؟ ما هي القاعدة التي يجب تطبيقها ومتى؟ ألق نظرة على هذه البرامج التعليمية التفاعلية المفيدة حول طرق العوملة المختلفة.

    هل تسبب الكسور صداعًا؟ تعرف على كيفية تقليل الكسور وتبسيط مجموعة متنوعة من التعبيرات المنطقية باستخدام برامجنا التعليمية التي تتضمن مذيبات الكسور التفاعلية. & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

    هل تحتاج إلى القليل من التنشيط في علم الحساب؟ راجع أساسيات الحسابات الحسابية وتعرف على تمثيل الأعداد الصحيحة والأرقام الحقيقية باستخدام حلولنا التفاعلية.

    معادلات الرسوم البيانية مع الرسامين التفاعليين لدينا أمر سهل! فهي لا تسمح لك فقط برسم المعادلات ، ولكن من خلال برامجنا التعليمية ستتعرف أيضًا على الأشكال المميزة ونقاط المعادلات الشائعة.

    هل من الصعب تعلم الدالة الأسية أكثر من الدوال الأخرى؟ ليس الأمر كذلك مع الحلول التفاعلية والرسامين والبرامج التعليمية لدينا!

    إذا كنت تعرف بالفعل كيفية رسم المعادلات بالرسم البياني ، فإن التفاوتات سهلة للغاية. تشارك الكثير من التظليل! استخدم الرسامين التفاعليين والبرامج التعليمية لتعلم هذا الموضوع المهم

    ستشرح هذه المجموعة من البرامج التعليمية كيفية حل نظام من معادلتين خطيتين ورسم بياني لهما بطرق متنوعة

    لا يوجد شيء جذري في المعادلات الجذرية! هذا هو ، إذا كنت تعرف ما هو الراديكالية. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فانتقل إلى البرنامج التعليمي للجذور والجذور أولاً. ثم عد مرة أخرى واستخدم حلول المعادلات الجذرية التفاعلية والبرامج التعليمية لمعرفة كيفية حل هذا النوع من المعادلات.

    تشرح هذه المجموعة من البرامج التعليمية كيفية تبسيط مجموعة متنوعة من التعبيرات ، مثل الكسور والجذور.

    خبر سار: حل المتباينات الخطية مشابه جدًا لحل المعادلات الخطية. أخبار سيئة: هناك علامة عدم المساواة الصغيرة المزعجة هذه (& lt أو & gt) التي يمكنها تغيير الاتجاهات بناءً على ما تفعله مع عدم المساواة. اقرأ برامجنا التعليمية واستخدم أداة حل القيمة المطلقة لمعرفة المزيد.


    الكسور

    مثال 1: يرغب بيكي وميري وجون في مشاركة قطعة شوكولاتة بالتساوي.
    أي جزء من الشريط سيأخذه كل منهم؟
    أي جزء من الشريط سيكون لدى بيكي وميري معًا؟

    يحتاج الأطفال إلى تقسيم الشريط إلى ثلاث قطع. لذلك سيأخذ الجميع $ frac <1> <3> $ من لوح الشوكولاتة.
    ستحصل فتاتان معًا على قطعتين ، وبالتالي ، من الناحية الرياضية ، سيكون لديهم $ frac <2> <3> $ من الشريط.

    المثال 2: أي جزء من الجنود أصفر؟

    المثال 3: أي جزء مفقود من التفاح؟

    قواعد الكسر

    خصائص الكسور

    الخاصية I: تمثل جميع الأجزاء المظلمة من الدوائر نصف $ frac <1> <2> ، frac <2> <4> $ و $ frac <3> <6> $ ، ومن هنا $ frac <1> <2> = فارك <2> <4> = فارك <3> <6> دولار

    نحصل على $ frac <2> <4> $ عندما نضرب البسط والمقام في الكسر $ frac <1> <2> $ في $ 2 $.

    نحصل على $ frac <3> <6> $ بضرب البسط والمقام $ frac <1> <2> $ في $ 3 $.


    لنفترض أن $ a $ عددًا صحيحًا وأن يكون $ b $ و $ c $ عددًا صحيحًا غير صفري.
    ثم:

    الملكية الثانية: إذا كان لكسرين مقامين متساويين ، فإن الكسر ذو البسط الأكبر يكون أكبر.
    إذا كانت $ a $ و $ b $ و $ c $ أعدادًا صحيحة و $ c ne 0 $ إذن:

    الخاصية الثالثة: إذا كان هناك كسرين متساويين في البسط ، فإن الكسر ذي المقام الأصغر يكون أكبر.
    إذا كانت $ a $ و $ b $ و $ c $ أعدادًا صحيحة ، و $ b $ و $ c $ ليست صفرية ، فإن:


    شاهد الفيديو: شرح توحيد مقامات الكسور (ديسمبر 2021).