مقالات

11.3: ثلاث زوايا للمثلث


اقتراح ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( المثلث ABC ) و ( المثلث A'B'C ') يكونان مثلثين في المستوى المحايد بحيث (AC = A'C' ) و (BC = B'C ' ). ثم

(AB

دليل - إثبات

بدون فقدان العمومية ، قد نفترض أن (A = A ') ، (C = C' ) ، و ( مقايس المثلث ACB ) ، ( المقاس ACB ' ge 0 ). في هذه الحالة نحن بحاجة إلى إظهار ذلك

(AB

اختر نقطة (X ) بحيث

( Measangle ACX = dfrac {1} {2} cdot ( scaleangle ACB + selectedangle ACB '). )

لاحظ أن

  • ((CX) ) منصف ( زاوية BCB ).
  • ((CX) ) هو المنصف العمودي لـ ([BB '] ).
  • (A ) و (B ) تقعان على نفس الجانب من ((CX) ) إذا وفقط إذا

( المقاسة ACB < المقاسة ACB ).

من التمرين 5.2.1 ، (A ) و (B ) تقعان على نفس الجانب من ((CX) ) إذا وفقط إذا (AB

نظرية ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( مثلث ABC ) يكون مثلثًا في المستوى المحايد. ثم

(| المقاسة ABC | + | المقاسة BCA | + | المقاسة CAB | le pi. )

الدليل التالي يرجع إلى ليجيندر [12] ، كانت براهين إيرلر بسبب ساشيري [16] ولامبرت [11].

دليل - إثبات

تعيين

( start {array} {rclcrclcrcl} {a} & = & {BC،} & & {b} & = & {CA،} & & {c} & = & {AB،} { alpha} & = & { selectedangle CAB،} & & { beta} & = & { selectedangle ABC،} & & { gamma} & = & {augeangle BCA.} end {array} )

بدون فقدان العمومية ، قد نفترض أن ( alpha، beta، gamma ge 0 ).

إصلاح عدد صحيح موجب (n ). ضع في اعتبارك النقاط (A_0، A_1، ...، A_n ) في نصف السطر ([BA) ) ، مثل (BA_i = i cdot c ) لكل (i ). (على وجه الخصوص ، (A_0 = B ) و (A_1 = A ).) دعونا نبني النقاط (C_1 ، C_2 ، ... ، C_n ) ، بحيث ( المقاسة A_iA_ {i- 1} C_i = beta ) و (A_ {i-1} C_i = a ) لكل (i ).

بواسطة SAS ، قمنا ببناء ن مثلثات متطابقة

( مثلث ABC = مثلث A_1A_0C_1 cong مثلث A_2A_1C_2 cong ... cong triangle A_nA_ {n-1} C_n. )

قم بتعيين (د = C_1C_2 ) و ( دلتا = قياس المثلث C_2A_1C_1 ). لاحظ أن

[ alpha + beta + delta = pi. ]

من خلال الاقتراح 11.2.1 ، نحصل على ذلك ( Delta ge 0 ).

عن طريق البناء

( مثلث A_1C_1C_2 cong triangle A_2C_2C_3 cong ... cong triangle A_ {n - 1} C_ {n - 1} C_n. )

على وجه الخصوص ، (C_i C_ {i + 1} = d ) لكل (i ).

من خلال التطبيق المتكرر لمتباينة المثلث ، نحصل على ذلك

( start {array} {rcl} {n cdot c} & = & {A_0A_n le} {} & le & {A_0 C_1 + C_1 C_2 + cdots + C_ {n - 1} C_n + C_n A_n =} {} & = & {a + (n - 1) cdot d + b.} end {array} )

خاصه،

(c le d + dfrac {1} {n} cdot (a + b - d). )

بما أن (n ) عدد صحيح موجب عشوائي ، فإن الأخير يعني (c le d ). حسب Proposition ( PageIndex {1} ) ، فهي تعادل

( جاما لو دلتا. )

من 11.3.1 ، تتبع النظرية.

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أن (ABCD ) رباعي الزوايا في المستوى المحايد. افترض أن الزوايا (DAB ) و (ABC ) صحيحة. أظهر أن (AB le CD ).

تلميح

تعيين (أ = AB ، ب = قبل الميلاد ، ج = CD ) ، و (د = DA ) ؛ لقد قمنا بإظهار ذلك (c ge a ).

تقليد إثبات النظرية ( PageIndex {1} ) للسياج المعروض المصنوع من نسخ رباعي الزوايا (ABCD ).


الرياضيات: كيفية حساب الزوايا في مثلث قائم الزاوية

كل مثلث له ثلاثة جوانب وثلاث زوايا في الداخل. تضيف هذه الزوايا ما يصل إلى 180 & # xB0 لكل مثلث ، بغض النظر عن نوع المثلث. في المثلث القائم الزاوية ، إحدى الزوايا هي بالضبط 90 & # xB0. تسمى هذه الزاوية بالزاوية القائمة.

لحساب الزوايا الأخرى ، نحتاج إلى الجيب وجيب التمام والظل. في الواقع ، يمكن تعريف الجيب وجيب التمام والظل لزاوية حادة من خلال النسبة بين الأضلاع في المثلث القائم.

مثلث قائم

مثل كل مثلث قائم الزاوية ، له ثلاثة أضلاع. واحد منهم هو الوتر ، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. يتم تحديد الجانبين الآخرين باستخدام إحدى الزاويتين الأخريين. تتكون الزوايا الأخرى من الوتر وجانب آخر. هذا الجانب الآخر يسمى الضلع المجاور. ثم يتبقى جانب واحد يسمى الجانب المقابل. عندما تنظر من منظور الزاوية الأخرى ، ينقلب الضلع المجاور والمقابل.

لذلك إذا نظرت إلى الصورة أعلاه ، فسيتم الإشارة إلى الوتر بالرمز h. عندما ننظر من منظور الزاوية ألفا ، يسمى الضلع المجاور ب ، والضلع المقابل يسمى أ. إذا نظرنا من الزاوية الأخرى غير القائمة ، فإن b هو الضلع المقابل و a سيكون الضلع المجاور.

الجيب وجيب التمام والظل

يمكن تعريف الجيب وجيب التمام والظل باستخدام مفاهيم الوتر والضلع المجاور والضلع المقابل. هذا يحدد فقط الجيب وجيب التمام والظل للزاوية الحادة. يتم تعريف الجيب وجيب التمام والظل أيضًا للزوايا غير الحادة. لإعطاء التعريف الكامل ، ستحتاج إلى دائرة الوحدة. ومع ذلك ، في المثلث القائم الزاوية ، تكون جميع الزوايا غير حادة ، ولن نحتاج إلى هذا التعريف.

يعرف جيب الزاوية الحادة بأنه طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر.

يعرف جيب تمام الزاوية الحادة بأنه طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر.

يتم تعريف ظل الزاوية الحادة على أنه طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

أو صيغت بشكل أوضح:

حساب زاوية في مثلث قائم الزاوية

تسمح لنا القواعد أعلاه بإجراء عمليات حسابية باستخدام الزوايا ، ولكن لحسابها مباشرة نحتاج إلى الدالة العكسية. الدالة العكسية f -1 للدالة f لها مدخلات ومخرجات عكس الدالة f نفسها. لذلك إذا كانت f (x) = y فإن f -1 (y) = x.

لذا ، إذا علمنا sin (x) = y فإن x = sin -1 (y) و cos (x) = y ثم x = cos -1 (y) و tan (x) = y ثم tan -1 (y) = x. نظرًا لأن هذه الوظائف تظهر كثيرًا لها أسماء خاصة. معكوس الجيب وجيب التمام والظل هي قوس القوس وجيب التمام والظل.

لمزيد من المعلومات حول الدوال العكسية وكيفية حسابها ، أوصي بمقالتي حول الدالة العكسية.

مثال على حساب الزوايا في المثلث

في المثلث أعلاه سنحسب زاوية ثيتا. لنفترض أن x = 3 ، y = 4. ثم من خلال نظرية فيثاغورس نعرف أن r = 5 ، بما أن الجذر التربيعي (3 2 + 4 2) = 5. يمكننا الآن حساب الزاوية ثيتا بثلاث طرق مختلفة.

لذا ثيتا = arcsin (3/5) = arccos (4/5) = arctan (3/4) = 36.87 & # xB0. هذا يسمح لنا أيضًا بحساب الزاوية غير اليمنى الأخرى ، لأن هذا يجب أن يكون 180-90-36.87 = 53.13 & # xB0. هذا لأن مجموع زوايا المثلث هو دائمًا 180 & # xB0.

يمكننا التحقق من ذلك باستخدام الجيب وجيب التمام والظل مرة أخرى. نسمي الزاوية ألفا ثم:

ثم alpha = arcsin (4/5) = arccos (3/5) = arctan (4/3) = 53.13. إذن هذا يساوي بالفعل الزاوية التي حسبناها بمساعدة الزاويتين الأخريين.

يمكننا أيضًا القيام بذلك في الاتجاه المعاكس. عندما نعرف زاوية وطول أحد الأضلاع ، يمكننا حساب الأضلاع الأخرى. لنفترض أن لدينا شريحة طولها 4 أمتار وتنخفض بزاوية 36 & # xB0. يمكننا الآن حساب مقدار المساحة الرأسية والأفقية التي ستستغرقها هذه الشريحة. نحن في الأساس في نفس المثلث مرة أخرى ، لكننا نعلم الآن أن ثيتا هي 36 & # xB0 و r = 4. ثم لإيجاد الطول الأفقي x ، يمكننا استخدام جيب التمام. نحن نحصل:

وبالتالي فإن x = 4 * cos (36) = 3.24 مترًا.

لحساب ارتفاع الشريحة يمكننا استخدام الجيب:

ومن ثم فإن y = 4 * sin (36) = 2.35 مترًا.

يمكننا الآن التحقق مما إذا كانت tan (36) تساوي بالفعل 2.35 / 3.24. نجد tan (36) = 0.73 ، وكذلك 2.35 / 3.24 = 0.73. لذلك فعلنا كل شيء بشكل صحيح بالفعل.

القاطع وقاطع التمام وظل التمام

يحدد الجيب وجيب التمام والظل ثلاث نسب بين الجانبين. ومع ذلك ، توجد ثلاث نسب أخرى يمكننا حسابها. إذا قسمنا طول الوتر على طول المقابل ، يكون قاطع التمام. قسمة الوتر على الضلع المجاور نحصل على القاطع والضلع المجاور مقسومًا على الضلع المقابل ينتج عنه ظل التمام.

هذا يعني أنه يمكن حساب هذه الكميات مباشرة من الجيب وجيب التمام والظل. يسمى:

نادرًا ما يتم استخدام القاطع وقاطع التمام وظل التمام ، لأنه باستخدام نفس المدخلات يمكننا أيضًا استخدام الجيب وجيب التمام والظل. لذلك ، لن يعرف الكثير من الناس أنهم موجودون.

نظرية فيثاغورس

ترتبط نظرية فيثاغورس ارتباطًا وثيقًا بأضلاع المثلثات القائمة. وهي معروفة جدًا باسم أ 2 + ب 2 = ج 2. لقد كتبت مقالًا عن نظرية فيثاغورس حيث تعمقت في هذه النظرية وإثباتها.


أوراق عمل الزوايا في المثلث | زاوية مجموع الملكية ، نظرية الزاوية الخارجية

تحتوي أوراق عمل الزوايا في المثلث على عدد كبير من ملفات pdf للعثور على الزوايا الداخلية والخارجية مع المقاييس المعروضة كأعداد صحيحة وتعبيرات جبرية. تعلم كيفية تطبيق خاصية مجموع الزاوية ونظرية الزاوية الخارجية ، وحل من أجل "x" لتحديد الزوايا الداخلية والخارجية المشار إليها. تم تخصيص هذه التمارين القابلة للطباعة لطلاب الصف السادس حتى المرحلة الثانوية. الوصول إلى بعض أوراق العمل هذه مجانًا!

تنص خاصية مجموع الزاوية على أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة. اكتشف ما إذا كانت مجموعات الزوايا المعطاة تشكل مثلثًا بإضافتها. أجب على كل منها بـ "نعم" أو "لا".

اطرح مجموع الزاويتين من 180 درجة لإيجاد قياس الزاوية الداخلية المحددة في كل مثلث.

بتطبيق نظرية الزاوية الخارجية ، أضف الزاويتين الداخليتين المتقابلتين لإيجاد الزاوية الخارجية المجهولة للمثلث.

في أوراق عمل pdf هذه ، يتم تقديم قياس إحدى الزوايا الداخلية لكل مثلث كتعبير جبري. ضع معادلة بمجموع الزوايا الثلاث ، معادلها بـ 180 درجة وحلها من أجل 'x'.

مساواة مجموع الضلعين بالزاوية الخارجية المصورة كتعبير جبري. بسّط التعبير وابحث عن قيمة "x" في هذه المجموعة من أوراق العمل القابلة للطباعة للصف السابع والصف الثامن.

حل من أجل 'x' ، واستبدلها في التعبير (التعبيرات) وابحث عن قياس الزاوية (الزوايا) الداخلية المشار إليها. يتم تقديم قياسات زاويتين كتعبيرات جبرية في الجزء أ وثلاث زوايا في الجزء ب.

كوّن معادلة بمجموع الزوايا المقابلة للزاوية الخارجية ، بسّطها وأوجد قيمة 'x'. قم بتوصيله وحساب قياس الزاوية المشار إليها في الجزء أ وقياس الزوايا الأربع في الجزء ب.

تحدي طلاب المدارس الثانوية بمشكلات تنسيق الكلمات التي تتضمن مثلثات مركبة تحتوي على مثلثات صحيحة ومتساوية الساقين ومثلثات متساوية الأضلاع. حدد حجم الزوايا المشار إليها بتطبيق خاصية مجموع الزاوية ونظرية الزاوية الخارجية.


تنزيل Go Math Grade 8 ، الفصل 11 ، علاقات الزوايا في الخطوط المتوازية والمثلثات ، مفتاح الإجابة بتنسيق PDF

عزز مهاراتك باستخدام مفتاح الإجابة Go Math للصف 8 ، الفصل 11 ، علاقات الزاوية في الخطوط المتوازية والمثلثات. قم بتنزيل Go Math Grade 8 Chapter 11 Answer Key وتصفح الأسئلة والأجوبة على موقعنا على الإنترنت. اتبع ما يلي: Go Math Grade 8 Chapter 11 Angle Relations in Parallel Lines and Triangles الإجابة الروابط الحكيمة للموضوعات الرئيسية وابدأ التحضير. استفد من الروابط واحصل على نسبة جيدة في الاختبار.

الدرس الأول: خطوط متوازية مقطوعة بقطع مستعرض

الدرس الثاني: نظريات الزوايا للمثلثات

الدرس 3: تشابه الزوايا

الممارسة الإرشادية & # 8211 الخطوط المتوازية المقطوعة بواسطة مستعرض & # 8211 الصفحة رقم 350

استخدم الشكل للتمارين 1-4.

السؤال رقم 1.
∠UVY و ____ هما زوجان من الزوايا المتناظرة.
∠ _________

توضيح:
∠UVY و ∠ VWZ هما زوجان من الزوايا المتناظرة.
عندما يتم عبور خطين بواسطة المستعرض ، تسمى الزوايا في الزوايا المطابقة الزوايا المقابلة.

السؤال 2.
∠WVY و ∠VWT هما زاويتان _________.
____________

إجابه:
∠WVY و ∠VWT هما زاويتان داخليتان بديلتان.
الزوايا الداخلية البديلة هي زوج من الزوايا على الجانب الداخلي لكل من هذين الخطين ولكن على جوانب متقابلة من المستعرض.

توضيح:
∠WVY و ∠VWT هما زاويتان داخليتان بديلتان.
الزوايا الداخلية البديلة هي زوج من الزوايا على الجانب الداخلي لكل من هذين الخطين ولكن على جوانب متقابلة من المستعرض.

السؤال 3.
ابحث عن m∠SVW.
_________ °

توضيح:
∠SVW و ∠VWT هما نفس الزوايا الداخلية للسيارة. لذلك،
m∠SVW + m∠VWT = 180 درجة
4xº + 5xº = 180º
9 س = 180 درجة
س = 180/9
س = 20
m∠SVW = 4xº = (4.20) º = 80º

السؤال 4.
ابحث عن m∠VWT.
_________ °

توضيح:
∠SVW و ∠VWT هما نفس الزوايا الداخلية للسيارة. لذلك،
m∠SVW + m∠VWT = 180 درجة
4xº + 5xº = 180º
9 س = 180 درجة
س = 180/9
س = 20
m∠VWT = 5xº = (5.20) º = 100º

السؤال 5.
المفردات عندما يتم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، تكون الزوايا _______________ مكملة.
____________

إجابه:
إذا تم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، فإن أزواج الزوايا الخارجية البديلة تكون متطابقة. إذا تم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، فإن أزواج الزوايا الداخلية المتتالية تكون مكملة.

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 6.
ما الذي يمكنك استنتاجه بشأن الزوايا الداخلية المتكونة عندما يتم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
الزوايا الداخلية البديلة متطابقة الزوايا الداخلية من نفس الجانب مكملة للزوايا.

توضيح:
عندما يتم قطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، ستكون الزوايا الداخلية هي الزوايا بين الخطين المتوازيين. ستكون الزوايا الداخلية البديلة على جوانب متقابلة من المستعرض ، وتكون قياسات هذه الزوايا هي نفسها.
ستكون الزوايا الداخلية من نفس الجانب على نفس الجانب من المستعرض ، وستكون قياسات هذه الزوايا تكميلية ، مضيفة ما يصل إلى 180 درجة.

11.1 الممارسة المستقلة & # 8211 الخطوط المتوازية المقطوعة بواسطة مستعرض & # 8211 الصفحة رقم 351

المفردات استخدم الشكل في التمارين 7-10.

السؤال 7.
قم بتسمية كل أزواج الزوايا المتناظرة.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
∠1 و ∠5
∠3 و 7
∠2 و 6
∠4 و 8

توضيح:
الزوايا المقابلة هي
∠1 و ∠5
∠3 و 7
∠2 و 6
∠4 و 8

السؤال 8.
قم بتسمية كلا الزوجين من الزوايا الخارجية البديلة.
اكتب أدناه:
____________

توضيح:
الزوايا الخارجية البديلة
∠1 و 8
∠2 و ∠7

السؤال 9.
قم بتسمية العلاقة بين ∠ 3 و 6.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
الزوايا الداخلية بديلة

توضيح:
3 و 6 زاويتان داخليتان متبادلتان.
الزوايا الداخلية البديلة هي زوج من الزوايا على الجانب الداخلي لكل من هذين الخطين ولكن على جوانب متقابلة من المستعرض.

السؤال 10.
قم بتسمية العلاقة بين ∠4 و 6.
اكتب أدناه:
____________

إجابه:
الزوايا الداخلية من نفس الجانب

توضيح:
4 و 6 زاويتان داخليتان في نفس الجانب.

أوجد قياس كل زاوية.

السؤال 11.
m∠AGE عندما m∠FHD = 30 درجة
_________ °

توضيح:
∠AGE و ∠FHD هما زاويتان خارجيتان متبادلتان.
لذلك ، m∠AGE = m∠FHD = 30 درجة
m∠AGE = 30 درجة

السؤال 12.
m∠AGH عندما m∠CHF = 150 درجة
_________ °

توضيح:
∠AGH و ∠CHF هما زاويتان متطابقتان.
لذلك ، m∠AGH = m∠CHF = 150 درجة
m∠AGH = 150 درجة

السؤال 13.
m∠CHF عندما m∠BGE = 110 درجة
_________ °

توضيح:
∠CHF و ∠BGE هما زاويتان خارجيتان بديلتان.
لذلك ، m∠CHF = m∠BGE = 110 درجة
m∠CHF = 110 درجة

السؤال 14.
m∠CHG عندما m∠HGA = 120 درجة
_________ °

توضيح:
∠CHF و ∠HGA هما زاويتان داخليتان من نفس الجانب.
m∠CHG + m∠HGA = 180 درجة
m∠CHG + 120 درجة = 180 درجة
m∠CHG = 180 & # 8211120 = 60
m∠CHG = 60º

السؤال 15.
m∠BGH
_________ °

توضيح:
∠BGH و ∠GHD هما زاويتان داخليتان من نفس الجانب.
لذا ، ∠BGH + ∠GHD = 180º
3 س + (2 س + 50) º = 180 درجة
5 س = 180 درجة & # 8211 50 درجة = 130 درجة
س = 130/5 = 26º
∠BGH = 3xº = 3 × 26º = 78º
∠GHD = (2x + 50) + = (2 × 26 + 50) = 102º

السؤال 16.
m∠GHD
_________ °

توضيح:
∠BGH و ∠GHD هما زاويتان داخليتان من نفس الجانب.
لذا ، ∠BGH + ∠GHD = 180º
3 س + (2 س + 50) º = 180 درجة
5 س = 180 درجة & # 8211 50 درجة = 130 درجة
س = 130/5 = 26º
∠BGH = 3xº = 3 × 26º = 78º
∠GHD = (2x + 50) + = (2 × 26 + 50) = 102º

السؤال 17.
يتبع مسار دراجات كروس كانتري خطًا مستقيمًا حيث يعبر شارعي 350 و 360. الشارعان متوازيان. ما هو قياس الزاوية الأكبر المتكونة عند تقاطع مسار الدراجة مع شارع 360؟ يشرح.

_________ °

إجابه:
الزاوية الأكبر التي تشكلت عند تقاطع مسار الدراجة مع شارع 360 هي 132 درجة

توضيح:

الزاوية الأكبر التي تشكلت عند تقاطع مسار الدراجة مع شارع 360 هي الزاوية 5 في مخططنا. 5 و 3 زاويتان داخليتان في نفس الجانب. لذلك ، m∠5 + m∠3 = 180º
م∠5 + 48º = 180 درجة
m∠5 = 180º & # 8211 48º
م∠5 = 132º

السؤال 18.
التفكير النقدي كم عدد الزوايا المختلفة التي يمكن أن تتكون من ثلاثة خطوط متوازية مستعرضة متقاطعة؟ كم عدد قياسات الزوايا المختلفة التي يمكن أن تكون؟
_________ زوايا مختلفة
_________ قياسات زاوية مختلفة

إجابه:
12 زوايا مختلفة
2 قياسات زاوية مختلفة

توضيح:
هناك 12 زاوية مختلفة تتكون من ثلاثة خطوط متوازية مستعرضة متقاطعة.
هناك قياسان مختلفان للزاوية:
م∠1 = م∠4 = م∠5 = م∠8 = م∠9 = م∠12
م∠2 = م∠3 = م∠6 = م∠7 = م∠10 = م∠11

خطوط متوازية مقطوعة بواسطة مستعرض & # 8211 صفحة رقم 352

السؤال 19.
توصيل الأفكار الرياضية في الرسم التخطيطي الموجود على اليمين ، افترض أن m∠6 = 125 درجة. اشرح كيفية إيجاد قياسات كل من الزوايا السبع المرقمة الأخرى.

اكتب أدناه:
____________

إجابه:
m∠2 = m∠6 = 125º لأن ∠2 و 6 زاويتان متطابقتان.
m∠3 = m∠2 = 125º لأن 3 و 2 زاويتان رأسيتان.
m∠7 = m∠3 = 125º لأن 7 و ∠3 زاويتان متطابقتان.
4 و 6 زاويتان داخليتان في نفس الجانب.
لذلك ، m∠4 + m∠6 = 180º
م∠4 + 125º = 180 درجة
m∠4 = 180º & # 8211125
م∠4 = 55º
m∠8 = m∠4 = 55º لأن 8 و 4 زاويتان متطابقتان.
m∠1 = m∠4 = 55º لأن 1 و 4 زاويتان رأسيتان.
m∠5 = m∠1 = 55º لأن 5 و 1 زاويتان متطابقتان.

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 20.
رسم الاستنتاجات في رسم بياني يوضح خطين متوازيين مقطوعين بقطر مستعرض ، يتم إعطاء قياسات زاويتين داخليتين من نفس الجانب على أنها 3x °. بدون كتابة معادلة وحلها ، هل يمكنك تحديد قياسات الزاويتين؟ يشرح. ثم اكتب وحل معادلة لإيجاد القياسات.

إجابه:
m∠1 و m∠2 هما زاويتان داخليتان لنفس الجانب تساوي 180 درجة
لذلك ، m∠1 + m∠2 = 180º
3 س + 3 س = 180 درجة
6 س = 180 درجة
س = 180/6 = 30
م∠1 = م 2 = 3 س = 3 (30) = 90 درجة

السؤال 21.
قم بعمل تخمين ارسم خطين متوازيين وخط مستعرض. اختر إحدى الزوايا الثمانية التي تم تكوينها. كم عدد الزوايا السبع الأخرى المطابقة للزاوية التي حددتها؟ كم عدد الزوايا السبع الأخرى المكملة لزاويتك؟ هل ستتغير إجابتك إذا اخترت زاوية مختلفة؟
اكتب أدناه:
____________

إجابه:

علينا أن نختار شكل ثماني زوايا متكونة. هناك زاويتان أخريان متطابقتان مع الزاوية a. زاويتان أخريان هما e و g.
لا توجد مكملات لـ a.
إذا حددنا زاوية مختلفة ، فستتغير الإجابة أيضًا.

السؤال 22.
استدلال النقد في الرسم التخطيطي الموجود على اليمين ، ،2 و 3 و ∠5 و∠8 كلها متطابقة ، و∠1 و 4 و 6 و 7 كلها متطابقة. يقول أيدن أن هذه معلومات كافية لاستنتاج أن الرسم البياني يظهر خطين متوازيين مقطوعين بمقطع مستعرض. هل هو محق؟ برر جوابك.

____________

إجابه:
هذه ليست معلومات كافية لاستنتاج أن الرسم البياني يظهر خطين متوازيين مقطوعين بمقطع مستعرض. لأن 2 و 3 زاويتان داخليتان في نفس الجانب. لكن 5 و 8 لا يتوافقان مع بعضهما البعض. و 6 و 7 زاويتان داخليتان في نفس الضلع. لكن ∠1 و 4 لا يتطابقان مع بعضهما البعض.

الممارسة الإرشادية & # 8211 نظرية الزوايا للمثلثات & # 8211 الصفحة رقم 358

أوجد قياس كل زاوية مفقودة.

السؤال رقم 1.

م∠ م = _________ °

توضيح:
من نظرية المثلث سوم ،
m∠L + m∠N + m∠M = 180º
78º + 31º + م∠ م = 180º
109º + م∠ م = 180º
م∠ م = 180º & # 8211109º
م∠ م = 71º

السؤال 2.

m∠Q = _________ °

توضيح:
من نظرية المثلث سوم ،
m∠Q + m∠S + m∠R = 180º
m∠Q + 24º + 126º = 180º
m∠Q + 150º = 180º
m∠Q = 180º & # 8211150º
م∠ س = 30º

استخدم نظرية مجموع المثلث لإيجاد قياس كل زاوية بالدرجات.

السؤال 3.

m∠T = _________ °
م∠ف = _________ °
m∠U = _________ °

إجابه:
م∠T = 88 درجة
m∠V = 63 درجة
m∠U = 29 درجة

توضيح:
من نظرية المثلث سوم ،
m∠U + m∠T + m∠V = 180 درجة
(2 س + 5) º + (7 س + 4) º + (5 س + 3) º = 180º
2xº + 5º + 7xº + 4º + 5xº + 3º = 180º
14xº + 12º = 180º
14xº = 168º
س = 168/14 = 12
عوّض بقيمة x لإيجاد الزوايا
m∠U = (2x + 5) º = ((2. 12) + 5) º = 29º
m∠U = 29º
م∠T = (7 س + 4) º = ((7-12) + 4) º = 88º
م∠T = 88º
م∠ف = (5 س + 3) º = ((5-12) + 3) º = 63º
m∠V = 63º

السؤال 4.

م∠ س = _________ °
m∠Y = _________ °
m∠Z = _________ °

إجابه:
م∠ س = 90 درجة
m∠Y = 45 درجة
م ∠Z = 45 درجة

توضيح:
من نظرية المثلث سوم ،
m∠X + m∠Y + m∠Z = 180º
nº + (1/2. n) º + (1/2. n) º = 180º
2nº = 180º
ن = 90
عوّض بقيم n لإيجاد الزوايا
م∠ س = نº = 90º
م∠ س = 90º
م∠ ص = (1/2. ن) º = (1/2. 90) º = 45º
م∠ ص = 45º
م∠Z = (1/2. ن) º = (1/2. 90) º = 45º
م ∠Z = 45º

استخدم نظرية الزاوية الخارجية لإيجاد قياس كل زاوية بالدرجات.

السؤال 5.

m∠C = _________ °
m∠D = _________ °

توضيح:
إذا كانت m∠C = 4y ° ، m∠D = (7y + 6) ° ، m∠E = 116 °
باستخدام نظرية الزاوية الخارجية ،
∠DEC + ∠DEF = 180 درجة

∠DEC + 116 درجة = 180 درجة
∠E = ∠DEC = 180 درجة & # 8211116 درجة = 64 درجة
مجموع زوايا الشباك = 180 درجة
∠C + ∠D + ∠E = 180 درجة
4y ° + (7y + 6) ° + 64 ° = 180 °
11y ° + 70 ° = 180 درجة
11y ° = 180 ° & # 8211 70 ° = 110 °
ص = 10
∠C = 4y ° = 4. 10 = 40 درجة
∠D = (7y + 6) ° = ((7.10) + 6) ° = (70 + 6) ° = 76 °

السؤال 6.

مل = _________ °
م∠ م = _________ °

توضيح:
بالنظر إلى أن m∠M = (5z & # 8211 3) ° ، m∠L = (18z + 3) ° ، m∠JKM = 161 °
من نظرية الزاوية الخارجية ،
م∠م + م∠ل = م∠جكم
(5z & # 8211 3) ° + (18z + 3) ° = 161 درجة
5z ° & # 8211 3 ° + 18z ° + 3 ° = 161 درجة
23 ع = 161 درجة
ض = 161/23 = 7
عوّض بقيم z لإيجاد الزوايا
م∠ م = (5z & # 8211 3) ° = ((5 .7) & # 8211 3) ° = 32 درجة
م∠L = (18z + 3) ° = ((18.7) + 3) ° = 129 درجة
من نظرية المثلث سوم ،
م∠م + مل + م∠لكم = 180º
32º + 129º + م∠LKM = 180º
161º + م∠LKM = 180º
م∠LKM = 19º

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 7.
صِف العلاقات بين قياسات زوايا المثلث.
اكتب أدناه:
______________

إجابه:
مجموع كل قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة. قياس الزاوية الخارجية لمثلث يساوي مجموع زواياه الداخلية البعيدة.

11.2 الممارسة المستقلة & # 8211 نظرية الزوايا للمثلثات & # 8211 الصفحة رقم 359

العثور على قياس كل زاوية.

السؤال 8.

م∠E = _________ °
م∠ فهرنهايت = _________ °

توضيح:
m∠E = x ° ، m∠F = x ° ، m∠D = 98 درجة
من نظرية المثلث سوم ، مجموع زوايا الزوايا الزائدة هو 180 درجة
m∠E + m∠D + m∠F = 180 درجة
س + 98 + س = 180 درجة
2 س + 98 = 180 درجة
2x = 82 درجة
س = 41 درجة
لذلك ، m∠E = 41 درجة
م∠ فهرنهايت = 41 درجة

السؤال 9.

m∠T = _________ °
م∠ف = _________ °

توضيح:
m∠W = 90 ° ، m∠T = 2x ° ، m∠V = x °
من نظرية المثلث سوم ، مجموع زوايا الزوايا الزائدة هو 180 درجة
m∠T + m∠V + m∠W = 180 درجة
2 س + س + 90 = 180 درجة
3 س = 90 درجة
س = 30 درجة
لذلك ، m∠T = 2x ° = 2. 30 درجة = 60 درجة
م∠ف = س ° = 30 درجة

السؤال 10.

m∠G = _________ °
م∠ ح = _________ °
m∠J = _________ °

إجابه:
m∠G = 75 درجة
م∠ ح = 60 درجة
m∠J = 45 درجة

توضيح:
m∠G = 5x °، m∠H = 4x °، m∠J = 3x °
من نظرية المثلث سوم ، مجموع زوايا الزوايا الزائدة هو 180 درجة
m∠G + m∠H + m∠J = 180 درجة
5 س + 4x + 3 س = 180 درجة
12x = 90 درجة
س = 15 درجة
لذلك ، m∠G = 5x ° = 5. 15 درجة = 75 درجة
m∠H = 4x ° = 4. 15 ° = 60 °
m∠J = 3x ° = 3. 15 ° = 45 °

السؤال 11.

m∠Q = _________ °
m∠P = _________ °
m∠QRP = _________ °

إجابه:
m∠Q = 98 درجة
m∠P = 55 درجة
م∠QRP = 27 درجة

توضيح:
بالنظر إلى أن m∠Q = (3y + 5) ° ، m∠P = (2y & # 8211 7) ° ، m∠QRS = 153 °
من نظرية الزاوية الخارجية ،
∠QRS + ∠QRP = 180 درجة
153 درجة + ∠QRP = 180 درجة

m∠R = m∠QRP = 180 درجة & # 8211 153 درجة = 27 درجة
من نظرية المثلث المجموع ، مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة
m∠P + m∠Q + m∠R = 180 درجة
(3y + 5) ° + (2y & # 8211 7) ° + 27 ° = 180 درجة
5 س + 25 = 180 درجة
5y ° = 155 درجة
ص = 31 درجة
m∠Q = (3y + 5) ° = ((3. 31 °) + 5) ° = 98 °
m∠P = (2y & # 8211 7) ° = ((2. 31 ° & # 8211 7) ° = 55 °
م∠QRP = 27 درجة

السؤال 12.

m∠ACB = _________ °
m∠DCE = _________ °
m∠BCD = _________ °

إجابه:
m∠ACB = 44 درجة
m∠DCE = 35 درجة
m∠BCD = 101 درجة

توضيح:
في traingle ABC ، ​​m∠A = 78 ° ، m∠B = 58 ° ، m∠ACB =؟ °
من نظرية المثلث المجموع ، مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة
m∠A + m∠B + m∠ACB = 180 درجة
78 درجة + 58 درجة + متر مكعب = 180 درجة
m∠ACB = 180 درجة & # 8211136 درجة
m∠ACB = 44 درجة
في CDE الخلفي ، m∠D = 85 ° ، m∠E = 60 ° ، m∠CDE =؟ °
من نظرية المثلث المجموع ، مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة
m∠D + m∠E + m∠CDE = 180 درجة
85 درجة + 60 درجة + م∠CDE = 180 درجة
m∠CDE = 180 درجة & # 8211145 درجة
م∠CDE = 35 درجة
من نظرية الزاوية الخارجية ،
m∠ACB + m∠CDE + m∠BCD = 180 درجة
44 درجة + 35 درجة + م∠BCD = 180 درجة
m∠BCD = 180 درجة & # 8211 79 درجة
m∠BCD = 101 درجة

السؤال 13.

m∠K = _________ °
مل = _________ °
m∠KML = _________ °
m∠LMN = _________ °

توضيح:
m∠K = 2x °، m∠L = 3x °، m∠KML = x °
إذن ، من نظرية المثلث مجموع ، مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
m∠K + m∠L + m∠KML = 180 درجة
2x ° + 3x ° + x ° = 180 درجة
6x ° = 180 درجة
س = 30 درجة
∠KML = س = 30 درجة
∠L = 3x = 3. 30 درجة = 90 درجة
∠K = 2x = 2. 30 درجة = 60 درجة
من نظرية الزاوية الخارجية ،
∠KML + ∠LMN = 180 درجة
∠LMN = 180 درجة & # 8211 30 درجة = 150 درجة

السؤال 14.
خطوات متعددة: الزاوية الثانية في المثلث أكبر بخمس مرات من الزاوية الأولى. الزاوية الثالثة تساوي ثلثي الزاوية الأولى. أوجد قياسات الزاوية.
قياس الزاوية الأولى: _________ °
قياس الزاوية الثانية: _________ °
قياس الزاوية الثالثة: _________ °

إجابه:
قياس الزاوية الأولى: 27 درجة
قياس الزاوية الثانية: 135 درجة
قياس الزاوية الثالثة: 18 درجة

توضيح:
دعونا نسمي زوايا المثلث as1 ، ∠2 ، ∠3.
اعتبر ∠1 مثل x.
∠2 أكبر بخمس مرات من الأولى.
∠2 = 5x
أيضا ، ∠3 = 2/3. x
إذن ، من نظرية المثلث مجموع ، مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
س + 5 س + (2/3. س) = 180 درجة
20x = 540 درجة
س = 27 درجة
إذن ، ∠1 = x = 27 °
∠2 = 5 س = 5. 27 درجة = 135 درجة
∠3 = 2/3. س = 2/3. 27 درجة = 18 درجة
قياس الزاوية الأولى: 27 درجة
قياس الزاوية الثانية: 135 درجة
قياس الزاوية الثالثة: 18 درجة

نظرية الزوايا للمثلثات & # 8211 الصفحة رقم 360

السؤال 15.
تحليل العلاقات هل يمكن أن يكون للمثلث زاويتان منفرجتان؟ يشرح.
___________

إجابه:
لا يمكن أن يكون للمثلث زاويتان منفرجتان

توضيح:
قياس زاوية منفرجة أكبر من 90 درجة. زاويتان منفرجتان والزاوية الثالثة سيكون مجموعهما أكبر من 180 درجة

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 16.
التفكير النقدي اشرح كيف يمكنك استخدام نظرية مجموع المثلث لإيجاد قياسات زوايا مثلث متساوي الأضلاع.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
كل الزوايا لها نفس القياس في مثلث متساوي الأضلاع

توضيح:
باستخدام نظرية مجموع المثلث ،
∠x + ∠x + ∠x = 180 درجة
3∠x = 180 درجة
∠x = 60 درجة
كل الزوايا لها نفس القياس في مثلث متساوي الأضلاع

السؤال 17.
أ. ارسم الاستنتاجات أوجد مجموع قياسات الزوايا في الشكل الرباعي ABCD. (تلميح: ارسم قطريًا ( overline ). كيف يمكنك استخدام الأرقام التي شكلتها لإيجاد المجموع؟)

المجموع: _________ °

السؤال 17.
ب. قم بعمل تخمين اكتب "نظرية الجمع الرباعي". اشرح لماذا تعتقد أنه صحيح.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
مجموع قياسات زوايا الشكل الرباعي هو 360 درجة
يمكن تقسيم أي رباعي إلى مثلثين (180 + 180 = 360)

السؤال 18.
توصيل الأفكار الرياضية وصف طريقتين ترتبط فيهما الزاوية الخارجية للمثلث بواحدة أو أكثر من الزوايا الداخلية.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
زاوية خارجية وهي & # 8217 s زاوية داخلية مجاورة تساوي 180 درجة
الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين.

الممارسة الموجهة & # 8211 تشابه الزاوية والزاوية & # 8211 الصفحة رقم 366

السؤال رقم 1.
اشرح ما إذا كانت المثلثات متشابهة. قم بتسمية قياسات الزاوية في الشكل.

اكتب أدناه:
___________
△ ABC له قياسات زاوية _______ و DEF له قياسات زاوية _______. لأن _______ في أحد المثلثات متطابقة مع ______ في المثلث الآخر ، فإن المثلثات ______.

إجابه:
△ ABC لها قياسات زاوية 40 ° و 30 ° و 109 ° و DEF لها قياسات زاوية 41 ° و 109 ° و 30 °. لأن 2∠s في مثلث واحد متطابقة مع المثلث الآخر ، فإن المثلثات متشابهة.

السؤال 2.
سارية العلم تلقي بظلالها بطول 23.5 قدمًا. في نفس الوقت من اليوم ، تلقي السيدة جيلبرت ، التي يبلغ طولها 5.5 أقدام ، بظلالها التي يبلغ طولها 7.5 أقدام. كم يبلغ ارتفاع سارية العلم بالقدم؟ جولة إجابتك إلى أقرب عشر.

_________ قدم

توضيح:
في المثلثات المتشابهة ، تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
5.5 / 7.5 = ساعة / 23.5
ح (7.5) = 129.25
ح = 129.25 / 7.5
ح = 17.23
التقريب لأقرب جزء من عشرة
ح = 17.2 قدم

السؤال 3.
يتقاطع المستعرضان المستعرضان مع خطين متوازيين كما هو موضح. اشرح ما إذا كانت △ ABC و △ DEC متشابهة.

∠BAC و∠EDC هما ___________ لأنهما ___________.
∠ABC و∠DEC هما ___________ لأنهما ___________.
بواسطة ________ ، △ ABC و DEC هما ___________.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
∠BAC و ∠EDC متطابقتان نظرًا لأنهما بديلان. الداخلية
∠ABC و∠DEC متطابقان لأنهما بديلان. الداخلية.
من خلال تشابه AA ، تتشابه ABC و △ DEC.

تسجيل الوصول للأسئلة الأساسية

السؤال 4.
كيف يمكنك تحديد ما إذا كان المثلثان متشابهين؟
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
إذا كانت زاويتان لمثلث واحد متطابقتين مع زاويتين لمثلث آخر ، فإن المثلثات متشابهة من خلال فرضية تشابه الزاوية

11.3 الممارسة المستقلة & # 8211 تشابه الزاوية والزاوية & # 8211 الصفحة رقم 367

استخدم الرسوم البيانية للتمارين 5-7.

السؤال 5.
أوجد قياسات الزوايا المجهولة في المثلثات.
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
م∠ ب = 42 درجة
م∠ فهرنهايت = 69 درجة
م∠ ح = 64 درجة
m∠K = 53 درجة

توضيح:
باستخدام نظرية مجموع المثلث ،
m∠A + m∠B + m∠C = 180 درجة
85 درجة + م∠ ب + 53 درجة = 180 درجة
138 درجة + م∠ب = 180 درجة
m∠B = 180 درجة & # 8211138 درجة
م∠ ب = 42 درجة
باستخدام نظرية مجموع المثلث ،
m∠D + m∠E + m∠F = 180 درجة
نعوض بقياسات الزاوية المعطاة ونوجد لها m∠F
64 درجة + 47 درجة + م∠ فهرنهايت = 180 درجة
111 درجة + م∠ فهرنهايت = 180 درجة
m∠F = 180 درجة & # 8211111 درجة
م∠ فهرنهايت = 69 درجة
باستخدام نظرية مجموع المثلث ،
m∠G + m∠H + m∠J = 180 درجة
نعوض بقياسات الزاوية المعطاة ونوجد قيمة m∠H
47 درجة + م ∠ ح + 69 درجة = 180 درجة
116 درجة + م∠ ح = 180 درجة
m∠H = 180 درجة & # 8211116 درجة
م∠ ح = 64 درجة
باستخدام نظرية مجموع المثلث ،
m∠J + m∠K + m∠L = 180 درجة
نعوض بقياسات الزاوية المعطاة ونوجد لها m∠K
85 ° + m∠K + 42 ° = 180 درجة
127 ° + m∠K = 180 درجة
m∠K = 180 درجة & # 8211127 درجة
m∠K = 53 درجة

السؤال 6.
ما هي المثلثات المتشابهة؟
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
△ ABC و △ JKL متشابهان لأن زاويتهما المتناظرة متطابقة. أيضًا ، △ DEF و △ GHJ متشابهان لأن المقابل لهما متطابق.

السؤال 7.
تحليل العلاقات حدد الزوايا المتطابقة مع الزوايا في △ ABC.
∠A ≅ ∠ ________
∠B ≅ ∠ ________
∠C ≅ ∠ ________

توضيح:
△ JKL له قياسات زوايا مماثلة لتلك التي قياسها ABC
A ≅ ∠ J
∠B ≅ ∠ L.
∠C ≅ ∠ K.
لذلك ، فهي متطابقة.

السؤال 8.
خطوات متعددة: تلقي الشجرة بظلالها التي يبلغ طولها 20 قدمًا. يبلغ طول فرانك 6 أقدام ، وأثناء وقوفه بجانب الشجرة يلقي بظلاله التي يبلغ طولها 4 أقدام.

أ. كم طول الشجرة؟
ح = ________ قدم

توضيح:
في المثلثات المتشابهة ، تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
20/4 = ح / 6
5 = ح / 6
ح = 30
يبلغ طول الشجرة 30 قدمًا.

السؤال 8.
ب. كم يبلغ ارتفاع الشجرة من فرانك؟
________ قدم

توضيح:
30 – 6 = 24
يبلغ طول الشجرة 24 قدمًا أطول من فرانك.

السؤال 9.
تمثيل مشاكل العالم الحقيقي تتسلق شيلا على سلم متصل بجانب جدار صالة الألعاب الرياضية في الغابة. إنها على بعد 5 أقدام من الأرض و 3 أقدام من قاعدة السلم التي تبعد 15 قدمًا عن الحائط. ارسم مخططًا لمساعدتك في حل المشكلة. ما هو ارتفاع الجدار أعلى السلم؟
________ قدم

3/15 = 5 / س
15 × 3 = 3 ساعات
75 = 3 ساعات
ع = 75/3 = 25

السؤال 10.
تبرير التفكير هل مثلثين متساويين الأضلاع متشابهان دائمًا؟ يشرح.
______________

إجابه:
نعم ، هناك مثلثا متساوي الأضلاع متشابهان دائمًا.
كل زاوية في مثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة. نظرًا لأن كلا المثلثين متساوي الأضلاع ، فهما متشابهان.

تشابه الزاوية والزاوية & # 8211 رقم الصفحة 368

السؤال 11.
استدلال النقد قام رايان بحساب المقياس المفقود في الرسم البياني الموضح. ما هو خطئه؟

( فارك <3.4> <6.5> = فارك<19.5>)
19.5 × ( فارك <3.4> <6.5> = فارك<19.5>) × 19.5
( فارك <66.3> <6.5> ) = ح
10.2 سم = ح
اكتب أدناه:
___________

إجابه:
في السطر الأول ، لم يأخذ Ryan مجموع 6.5 و 19.5 ليحصل على المقام على اليمين.
يجب أن يكون المقام على اليمين 26 بدلاً من 19.5
القيمة الصحيحة لـ h
3.4 / 6.5 = ح / 26
ع = (3.4 / 6.5) × 26
ح = 13.6 سم

التركيز على أعلى ترتيب التفكير

السؤال 12.
Communicate Mathematical Ideas For a pair of triangular earrings, how can you tell if they are similar? How can you tell if they are congruent?
Type below:
___________

إجابه:
The earrings are similar if two angle measures of one are equal to two angle measures of the other.
The earrings are congruent if they are similar and if the side lengths of one are equal to the side lengths of the other.

Question 13.
Critical Thinking When does it make sense to use similar triangles to measure the height and length of objects in real life?
Type below:
___________

إجابه:
If the item is too tall or the distance is too long to measure directly, similar triangles can help with measuring.

Question 14.
Justify Reasoning Two right triangles on a coordinate plane are similar but not congruent. Each of the legs of both triangles are extended by 1 unit, creating two new right triangles. Are the resulting triangles similar? Explain using an example.
___________

إجابه:
Two triangles are similar if their corresponding angles are congruent and the lengths of their corresponding sides are proportional. If each of the legs of both triangles is extended by 1 unit, the ratio between proportional sides does not change. Therefore, the resulting triangles are similar.

Ready to Go On? – Model Quiz – Page No. 369

11.1 Parallel Lines Cut by a Transversal

In the figure, line p || line q. Find the measure of each angle if m∠8 = 115°.

توضيح:
According to the exterior angle theorem,
m∠7 + m∠8 = 180°
m∠7 + 115° = 180°
m∠7 = 180° – 115°
m∠7 = 65°

توضيح:
From the given figure, Line P is parallel to line Q. So, the angles given in line P is equal to the angles in line Q. They are corresponding angles.
So, m∠8 is parallel is m∠6 or m∠8 = m∠6 = 115°

توضيح:
∠1 and ∠6 are alternative exterior angles.
So, m∠1 = m∠6 = 115°

11.2 Angle Theorems for Triangles

Find the measure of each angle.

توضيح:
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
4y° + (3y + 22)° + 74° = 180°
7y = 180 – 96 = 84
y = 12°
m∠A = 4y° = 4 (12°) = 48°
m∠B = (3y + 22)° = (3(12°) + 22)° = 58°

توضيح:
m∠A + m∠B + m∠C = 180°
4y° + (3y + 22)° + 74° = 180°
7y = 180 – 96 = 84
y = 12°
m∠A = 4y° = 4 (12°) = 48°
m∠B = (3y + 22)° = (3(12°) + 22)° = 58°

السؤال 6.
m∠BCA = _________ °

توضيح:
m∠BCD + m∠BCA = 180°
106° + m∠BCA = 180°
m∠BCA = 180° – 106°
m∠BCA = 74°
So, m∠BCA = 74°

11.3 Angle-Angle Similarity

Triangle FEG is similar to triangle IHJ. Find the missing values.

توضيح:
In similar triangles, corresponding side lengths are proportional.
HJ/EG = IJ/FG
(x + 12)/42 = 40/60
(x + 12)/42 = 4/6
6x = 96
x = 16

توضيح:
In similar triangles, corresponding side lengths are congruent.
m∠HJI = m∠EGF
(5y + 7)° = 52°
5y° + 7° = 52°
5y° = 45°
y = 9

توضيح:
Using the Triangle Sum Theorem,
m∠E + m∠F + m∠G = 180°
We substitute the given angle measures and we solve for m∠E
m∠E + 36° + 52° = 180°
m∠E + 88° = 180°
m∠E = 92°
In similar angles, corresponding side lengths are congruent
m∠H = m∠E
m∠H = 92°

ESSENTIAL QUESTION

السؤال 10.
How can you use similar triangles to solve real-world problems?
Type below:
____________

إجابه:
we know that if two triangles are similar, then their corresponding angles are congruent and the lengths of their corresponding sides are proportional. We can use this to determine values that we cannot measure directly. For example, we can calculate the length of the tree if we measure its shadow and our shadow on a sunny day.

Selected Response – Mixed Review – Page No. 370

Use the figure for Exercises 1 and 2.

السؤال رقم 1.
Which angle pair is a pair of alternate exterior angles?
Options:
A. ∠5 and ∠6
B. ∠6 and∠7
C. ∠5 and ∠4
D. ∠5 and ∠2

توضيح:
∠5 and ∠4 are alternate exterior angles

السؤال 2.
Which of the following angles is not congruent to ∠3?
Options:
A. ∠1
B. ∠2
C. ∠6
D. ∠8

توضيح:
∠2 and ∠3 are same-side interior angles. They are not congruent instead their sum is equal to 180°

السؤال 3.
The measures, in degrees, of the three angles of a triangle are given by 2x + 1, 3x – 3, and 9x. What is the measure of the smallest angle?
Options:
A. 13°
B. 27°
C. 36°
D. 117°

توضيح:
From the Triangle Sum Theorem, the sum of the angles of the triangle is 180°
m∠1 + m∠2 + m∠3 = 180°
(2x + 1)° + (3x – 3)° + (9x)° = 180°
2x° + 1° + 3x° – 3° + 9x° = 180°
14x° – 2° = 180°
14x° = 178°
x = 13
Substitute the value of x to find the m∠1, m∠2, and m∠3
m∠1 = (2x + 1)° = (2(13) + 1)° = 27°
m∠2 = (3x – 3)° = (3(13) – 3)° = 36°
m∠3 = (9x)° = (9(13))° = 117°
The smallest angle is 27°

السؤال 4.
Which is a possible measure of ∠DCA in the triangle below?

Options:
A. 36°
B. 38°
C. 40°
D 70°

توضيح:
Using the Exterior Angle Theorem
m∠A + m∠B = m∠DCA
m∠A + 40° = m∠DCA
m∠DCA will be greater than 40°. The only suitable option is D, 70°.

السؤال 5.
Kaylee wrote in her dinosaur report that the Jurassic period was 1.75 × 10 8 years ago. What is this number written in standard form?
Options:
A. 1,750,000
B. 17,500,000
C. 175,000,000
D. 17,500,000,000

توضيح:
1.75 × 10 8 standard form
Move the decimal point to 8 right places.
175,000,000

السؤال 6.
Given that y is proportional to x, what linear equation can you write if y is 16 when x is 20?
Options:
A. y = 20x
B. y = (frac<5><4>) x
C. y = (frac<4><5>)x
D. y = 0.6x

توضيح:
Y=4/5x
16=4/5(20)
4/5×20/1=80/5
80/5=16

السؤال 7.
Two transversals intersect two parallel lines as shown.

أ. What is the value of x?
x = ________

توضيح:
m ∠ J K L = m ∠ L N M
6x + 1 = 25
6x = 24
x = 4

السؤال 7.
ب. What is the measure of ∠LMN?
_________°

توضيح:
m∠LMN = 3x + 11 = 3(4) + 11 = 12 + 11 = 23

السؤال 7.
ج. What is the measure of ∠KLM?
∠KLM = _________°

توضيح:
∠KLM exterior angle of the triangle LMN
m∠KLM = m∠LNM + m∠LMN
= 25 + 23 = 48

السؤال 7.
د. Which two triangles are similar? كيف علمت بذلك؟
Type below:
_____________

إجابه:
triangle JKL = triangle LNM
triangle KJL = triangle LMN

توضيح:
triangle JLK and triangle LNM are similar.
triangle JKL = triangle LNM
triangle KJL = triangle LMN

Summary:

The solutions provided in the Go Math Grade 8 Answer Key Chapter 11 Angle Relationships in Parallel Lines and Triangles are made by the professionals. Practice all the math questions available on the 8th Grade Text Book and learn how to solve the questions in a simple way. Hope the information provided in this article is beneficial for all the students of grade 8. Keep in touch with our website to get the pdfs of all the Go Math Grade 8 Answer Key Chapterwise.


Classifying triangles

Triangles are often classified by their angles and sides, as shown in the tables below.

By angles:

TypeAnglesFigure
Acute all interior angles < 90°
Obtuse 1 interior angle > 90°
حق 1 angle = 90°
Equiangular each interior angle = 60°

By sides:

TypeSidesFigure
Scalene no 2 sides are congruent
Isosceles 2 congruent sides
Equilateral all sides are congruent

Fibonacci Fractals

Now we will explore the formation of spirals in more detail, and discover some more interesting and useful facts about Fibonacci Numbers. We will be examining the concept of periodicity, which we'll also learn about in the Mandelbrot Set, but which is also important in a large number of natural systems.

Perhaps the simplest, most elegant example of a spiral in nature is a seashell. The organism that creates the shell just repeats a simple process again and again to form the spiral shell. It keeps adding wedges to its shell in a very simple fashion: Each wedge is rotated by the same angle, and each wedge is the same proportion larger than the one before it. This is all that is required to make a logarithmic spiral. Notice that you could choose any angle or proportion, as long as you keep repeating the same values at each iteration.

We're going to explore what happens when we change the angle that generates the spiral. Play with the Angle slider in the Spiralizer applet below:

At very low angles, the applet creates a simple spiral. But as you increase the angle, all sorts of interesting patterns emerge. It can become difficult to determine the order of the dots. Click on "Connect Dots" to make the connections easier to see.

If you set the angle to 180 degrees, the point will rotate to the other side, and then back again at the next iteration, and so on, oscillating with a period of 2. If you set the angle to be 90 degrees, The dots will grow in a square pattern, that is, with a period of 4. The periodicity can be determined by dividing the angle of a full circle, 360 degrees, by the rotation angle. For example, 360 / 90 = 4. The progression of the points is just 0, 90, 180, 270 degrees. Then it returns to 360, which is the same as 0 degrees, and the pattern begins again.

There is another angle that will generate period-4 patterns: 270 degrees. This is 360 degrees - 90 degrees. We can see why this works by examining the progression of the angles. Start with iteration 0 at at 0 degrees. The first iteration takes the point 3/4 of the way around the circle or 270 degrees. Then the second iteration adds 270 degrees, which is 540 degrees. This is the same as 360 + 180, so it's halfway around the circle. The next iteration takes the point to 810 degrees, which is the same angle as 720 + 90, or 2 and 1/4 times around the circle.

In general, the periodicity P = 360 / A, where is the angle around the circle. If we want to find a specific periodicity, we can rearrange the equation to solve for A = 360 / P .

One interesting thing to observe is that when the angle is set exactly to a value that repeats perfectly, such as 90 degrees, the points line up in straight lines. But if you adjust the angle just a tiny bit larger or smaller than one of these perfect values, then the dots start to twist into spirals. You can nudge the angle 0.1 degrees at a time with the arrow keys to see the effect of perturbing the angle just slightly.

Questions:
Find an angle that generates a perfect triangle pattern (period 3): [ ]
Find another angle that generates a perfect triangle pattern: [ ]

Find an angle that generates a perfect pentagon pattern (period 5): [ ]
Find another angle that generates a perfect pentagon pattern: [ ]

Find an angle that generates a perfect hexagon pattern (period 6): [ ]
Find another angle that generates a perfect hexagon pattern: [ ]

There are many other higher-order periodicities that emerge in between the simple angles that create triangles, square, pentagons and hexagons, and we will explore the more complex details in the next section, when we relate this behavior to the periodicities of the Mandelbrot Set.

Fibonacci Packing

A sunflower pattern can be created by a simple repetitive process similar to how the spiralizer forms its patterns. Imagine the flower operating like the Spiralizer. It creates a seed at the origin, and then it rotates by a certain angle and creates another seed. Then it rotates again by the same angle and forms a third seed. It keeps rotating by the same angle and adding seeds, which all keep growing in scale and distance from the center.

How does the angle affect the outcome of the pattern of seeds? As we saw with the spiralizer, when you set the angle to be a simple fraction of the whole way around the circle, the dots (or seeds) line up in radial arms. This is a simple pattern, but it is NOT the most efficient way to pack a lot of seeds into a given area. You can see the percentage of space filled by dots at the bottom of the Spiralizer. For instance, when the angle of rotation is 90 degrees, the dots fall in a period-4 pattern, and the percentage of the space filled by dots is 11.436%. This is a relatively small proportion, and is a poor use of space.

When the angle of rotation is not simple like 1/2, 1/3, or 1/4, but instead is an irrational fraction of the circle, then the angle never quite repeats itself, and much more complex patterns are possible. Sometimes these arrangements alloiw a much more efficient packing of seeds into a given area.

When the angle of rotation is set to be the 360/&phi that is, the fraction of the circle correspinding to the Golden Ratio, then the seeds pack in the most efficient way possible. Try it with the Spiralizer above! What is the "Golden Angle" for this optimal packing? 360 / 1.61803399 is approximately equal to 222.5 degrees.

Set the angle in the Spiralizer to 222.5 (you might need to use the arrow keys to set it precisely), turn the drawing speed down about half way, and click "Connect Dots" to illustrate how a sunflower arranges its seeds.

One amazing thing to observe is that in systems that use this packing system (many flowers, pinecones, strawberries, pineapples, artichokes, etc) you can often find the Fibonacci Sequence. This is illustrated in the picture of the sunflower above. The pattern forms intersecting spirals where the number of seeds in the counter-clockwise spiral is part of the Fibonacci Sequence, and the number of seeds in the clockwise spiral is the next highest Fibonacci Number. This is often difficult to count, and sometimes it is not exactly correct, but in general the ratio of the seeds counted in one direction to the number of seeds in the other direction is close to the Golden Ratio &phi.

Questions:
What percentage of the space is filled with dots for the Golden Angle: [ ] (Make sure "Connect Dots" is off.)

What percentage of the space is filled for the period-8 arrangement of dots? [ ]

What angle is the LEAST efficient for packing dots (i.e fills up the lowest proportion of space)? [ ]

In the sunflower image above, how many seeds are in the counter-clockwise spiral highlighted in blue? [ ]


Answers and Replies

I think M is any point on the line connecting K and L. Using M, we can construct another line segment JM that connects J and M.

so the line segment JM has a length of JM and the KM and LM line segments have lengths of KM and LM respectively.

The question wants you answer what angle must J be such that:

JM * JM = KM * LM for any point M on the KL line segment

where the asterisk is simply real number multiplication and JM, KM, and LM are length measures.

I think M is any point on the line connecting K and L. Using M, we can construct another line segment JM that connects J and M.

so the line segment JM has a length of JM and the KM and LM line segments have lengths of KM and LM respectively.

The question wants you answer what angle must J be such that:

JM * JM = KM * LM for any point M on the KL line segment

where the asterisk is simply real number multiplication and JM, KM, and LM are length measures.

This makes it a lot easier. Only one thing is it really does not specify M is the mid point. But it won't work if it doesn't.

This is my work, let me know whether I am right. It's not hard after I understand the question.

I don't get use to angle J or angle K. I am more used to angle KJL and angle JKL. That would be a lot clearer.

If M is not the mid point, it's going to be harder to find.

Seems like if M is not the mid point, you can make the equation work with any angle less than 180deg. I don't know how to proof it, but there should be some length of the sides of the triangle to make the equation fit. So all the answers are correct in the problem. But I don't know how to proof it.

I tried to use cosine law, but there's too many variables. Anyone know of a way to proof this if M is not a mid point?

If the question means that for أي point M between K and L it holds ##JM^2=KMcdot LM## then you have solve it because since it holds for any point, it holds for the mid point as well and from that you proved that J is 90. So J is 90 the only correct answer.

However I am not sure that the question means that. I think it means that there exists a point M (not necessarily the mid point ) مثل ذلك ##JM^2=KMcdot LM##. Then it is totally different. Then 90 degrees is one possible answers but there might others as well and your answer is incomplete.

BTW in the last line of your work you meant to write that ##KJL=eta+gamma ## right?

Seems like if M is not the mid point, you can make the equation work with any angle less than 180deg. I don't know how to proof it, but there should be some length of the sides of the triangle to make the equation fit. So all the answers are correct in the problem. But I don't know how to proof it.

I tried to use cosine law, but there's too many variables. Anyone know of a way to proof this if M is not a mid point?

If it were my test question, I'd check all of them as I agree the angle can be any from 0 to 180 if the point M is anywhere along the segment KL. If you have access to Mathematica, perhaps you can study the code below with KL=1 and as the parameters "t" (angle of MJ on the circle -- the red line) and "a" (length of MJ) are varied we always have red^2=(green)(blue) and since we can scale it for any length KL then we can adjust the triangle with the angle at J to be 0 to 180. Then perhaps formulate it into a proof.

Well, I’m going to add my two pennies worth…

The question is incomplete. It is easy to construct a counter-example to demonstrate that - unless M is the midpoint - m∠J can have a wide range of values. This means m∠J can not be limited to one of the values in the given list.

Counter example:
Point K is at (0,0). Point L is at (10,0). Point M is (say) at (1, 0).
This gives KM = 1 and LM = 9 so that KM•LM = 1•9 = 9.
JM² = KM•LM = 1•9 = 9 which gives JM = 3.
Point J can therefore be anywhere on a circle centred on M and radius 3. A range of values for m∠J is therefore possible.

However if M is the midpoint of KL, then let r = KM = LM.
JM² = KM•LM = r² which gives JM = r.
This mean KL is the diameter of a circle centred on M and radius r, and J lies on this circle. ∠J is the angle subtended by a diameter and is therefore 90º (Thales’ theorem):
https://www.cut-the-knot.org/Outline/Geometry/AngleOnDiameter.jpg

So it seems most likely that the question neglected to state that M is the midpoint of KL.


What are the Angles of a Triangle?

The angle of a triangle is the space formed between two side lengths of a triangle. A triangle contains interior angles and exterior angles. Interior angles are three angles found inside a triangle. Exterior angles are formed when the sides of a triangle are extended to infinity.

Therefore, exterior angles are formed outside a triangle between one side of a triangle and the extended side. Each exterior angle is adjacent to an interior angle. Adjacent angles are angles with a common vertex and side.

The figure below shows the angle of a triangle. The interior angles are a, b and c, while exterior angles are d, e, and f.


Triangles Side and Angles

Triangles are one of the most fundamental geometric shapes and have a variety of often studied properties including:

Rule 1: Interior Angles sum up to $ 180^0 $ Rule 2: Sides of Triangle -- Triangle Inequality Theorem : This theorem states that the sum of the lengths of any 2 sides of a triangle must be greater than the third side. ) Rule 3: Relationship between measurement of the sides and angles in a triangle: The largest interior angle and side are opposite each other. The same rule applies to the smallest sized angle and side, and the middle sized angle and side. Rule 4 Remote Extior Angles -- This Theorem states that the measure of a an exterior angle $ angle A$ equals the sum of the remote interior angles' measurements. more)

What's the difference between interior and exterior angles of a triangle?

This question is answered by the picture below. You create an exterior angle by extending any side of the triangle.

Interior Angles of a Triangle Rule

This may be one the most well known mathematical rules-The sum of all 3 interior angles in a triangle is $180^ $. As you can see from the picture below, if you add up all of the angles in a triangle the sum must equal $180^ $.

To explore the truth of this rule, try Math Warehouse's interactive triangle, which allows you to drag around the different sides of a triangle and explore the relationship between the angles and sides. No matter how you position the three sides of the triangle, the total degrees of all interior angles (the three angles inside the triangle) is always 180°.

This property of a triangle's interior angles is simply a specific example of the general rule for any polygon's interior angles.

Interior Angles Interactive Demonstration

Practice Problems (interior angles rule)

Problem 1

What is m$angle$LNM in the triangle below?

m$ angle $ LNM +m$ angle $ LMN +m$ angle $ MLN =180°
m$ angle $ LNM +34° + 29° =180°
m$ angle $ LNM +63° =180°
m$ angle $ LNM = 180° - 63° = 117°

Problem 2

A triangle's interior angles are $ angle $ HOP, $ angle $ HPO and $ angle $ PHO. $ angle $ HOP is 64° and m$ angle $ HPO is 26°.
What is m$ angle $ PHO?

m$ angle $ PHO = 180° - 26° -64° = 90°

Relationship --Side and Angle Angle Measurements

  • the largest interior angle is ضد the largest side
  • the smallest interior angle is ضد the smallest side
  • the middle-sized interior angle is ضد the middle-sized side

To explore the truth of the statements you can use Math Warehouse's interactive triangle, which allows you to drag around the different sides of a triangle and explore the relationships betwen the measures of angles and sides. No matter how you position the three sides of the triangle, you will find that the statements in the paragraph above hold true.

(All right, the isosceles and equilateral triangle are exceptions due to the fact that they don't have a single smallest side or, in the case of the equilateral triangle, even a largest side. Nonetheless, the principle stated above still holds true. !)


11.3: Three angles of triangle

Input 3 triangle side lengths (A, B and C), then click "ENTER". This calculator will determine whether those 3 sides will form an equilateral, isoceles, acute, right or obtuse triangle or رقم triangle at all.

Without Using The Calculator
When given 3 triangle sides, to determine if the triangle is acute, right or obtuse:

2) Sum the squares of the 2 shortest sides.

3) Compare this sum to the square of the 3rd side.

if sum > 3rd side²   Acute Triangle

if sum = 3rd side²   Right Triangle

sum of the squares of the short sides = 25 + 36 = 61

3, 4 and 5 Squaring each side = 9, 16 and 25

sum of the squares of the short sides = 9 + 16 = 25

3, 7 and 9 Squaring each side = 9, 49 and 81

sum of the squares of the short sides = 9 + 49 = 58

58 For determining if the 3 sides can even form a triangle, the triangle inequality theorem states that the longest side must be shorter than the sum of the other 2 sides.


شاهد الفيديو: 23 أنواع المثلث من حيث قياس زواياه- رياضيات - الصف الخامس (ديسمبر 2021).